Calcule os determinantes abaixo usando operações elementares até chegar em uma matriz triangular: (a) |rrrr1 & 0 & -1 & 4 0 & 2 & 1 & 1 2 & 1 & 2 & 3 -1 & 2 & -1 & 0|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse determinante que você me mandou! O enunciado pede para calcular o determinante de uma matriz 4x4 usando operações elementares até chegar em uma matriz triangular. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes e operações elementares. Para resolver, vamos precisar entender como transformar a matriz em uma forma triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros) e como as operações que fizermos afetam o valor do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que queremos calcular o determinante:
A = 1 & 0 & -1 & 4 0 & 2 & 1 & 1 2 & 1 & 2 & 3 -1 & 2 & -1 & 0
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. Para isso, vamos usar operações elementares de linha: troca de linhas, multiplicação de uma linha por um número diferente de zero e adição de múltiplos de uma linha a outra.

Passo 3

Começamos observando que o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) já é 1, o que facilita as coisas. Nosso próximo passo é eliminar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna.
  • Eliminando o elemento (3,1): Queremos que o elemento na terceira linha e primeira coluna seja zero. Para isso, fazemos:
    R3 = R3 - 2 times R1
    Calculando:
    2 - 2 times 1 = 0
    Aplicando isso na terceira linha:
    R3 = [2, 1, 2, 3] - 2 times [1, 0, -1, 4] = [0, 1, 4, -5]
  • Eliminando o elemento (4,1): Vamos fazer algo similar para a quarta linha:
    R4 = R4 + R1
    Calculando:
    -1 + 1 = 0
    Aplicando na quarta linha:
    R4 = [-1, 2, -1, 0] + [1, 0, -1, 4] = [0, 2, -2, 4]
Agora, a matriz fica assim:
1 & 0 & -1 & 4 0 & 2 & 1 & 1 0 & 1 & 4 & -5 0 & 2 & -2 & 4

Passo 4

Agora, vamos focar no segundo pivô, que está na segunda linha e segunda coluna (valor 2). Queremos eliminar os elementos abaixo dele na segunda coluna.
  • Eliminando o elemento (3,2):
    R3 = R3 - 12 times R2
    Calculando:
    1 - 12 times 2 = 0
    4 - 12 times 1 = 72
    -5 - 12 times 1 = -112
    Assim:
    R3 = [0, 1, 4, -5] - 12 times [0, 2, 1, 1] = [0, 0, 72, -112]
  • Eliminando o elemento (4,2):
    R4 = R4 - R2
    Calculando:
    2 - 2 = 0
    -2 - 1 = -3
    4 - 1 = 3
    Então:
    R4 = [0, 2, -2, 4] - [0, 2, 1, 1] = [0, 0, -3, 3]
A matriz agora fica:
1 & 0 & -1 & 4 0 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & 72 & -112 0 & 0 & -3 & 3

Passo 5

Agora, vamos eliminar o elemento (4,3) para deixar a matriz totalmente triangular superior.
  • Eliminando o elemento (4,3):
    R4 = R4 + 67 times R3
    Calculando:
    -3 + 67 times 72 = -3 + 3 = 0
    3 + 67 times (-112) = 3 - 337 = -127
    Assim:
    R4 = [0, 0, -3, 3] + 67 times [0, 0, 72, -112] = [0, 0, 0, -127]
Agora, a matriz está em forma triangular superior:
1 & 0 & -1 & 4 0 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & 72 & -112 0 & 0 & 0 & -127

Passo 6

Com a matriz triangular, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Vamos calcular:
Determinante = 1 times 2 times 72 times (-127)
Simplificando passo a passo:
1 times 2 = 2
2 times 72 = 7
7 times (-127) = -12

Resposta

O determinante da matriz é -12.

Exercícios relacionados