Calcule os determinantes abaixo usando operações elementares até chegar em uma matriz triangular: (a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse determinante que você me mandou! O enunciado pede para calcular o determinante de uma matriz 4x4 usando operações elementares até chegar em uma matriz triangular. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes e operações elementares. Para resolver, vamos precisar entender como transformar a matriz em uma forma triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros) e como as operações que fizermos afetam o valor do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que queremos calcular o determinante:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. Para isso, vamos usar operações elementares de linha: troca de linhas, multiplicação de uma linha por um número diferente de zero e adição de múltiplos de uma linha a outra.

Passo 3

Começamos observando que o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) já é 1, o que facilita as coisas. Nosso próximo passo é eliminar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna.
  • Eliminando o elemento (3,1): Queremos que o elemento na terceira linha e primeira coluna seja zero. Para isso, fazemos:
    Calculando:
    Aplicando isso na terceira linha:
  • Eliminando o elemento (4,1): Vamos fazer algo similar para a quarta linha:
    Calculando:
    Aplicando na quarta linha:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos focar no segundo pivô, que está na segunda linha e segunda coluna (valor 2). Queremos eliminar os elementos abaixo dele na segunda coluna.
  • Eliminando o elemento (3,2):
    Calculando:
    Assim:
  • Eliminando o elemento (4,2):
    Calculando:
    Então:
A matriz agora fica:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o elemento (4,3) para deixar a matriz totalmente triangular superior.
  • Eliminando o elemento (4,3):
    Calculando:
    Assim:
Agora, a matriz está em forma triangular superior:

Passo 6

Com a matriz triangular, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Vamos calcular:
Simplificando passo a passo:

Resposta

O determinante da matriz é -12.

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