Calcule os determinantes abaixo usando operações elementares até chegar em uma matriz triangular: (a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse determinante que você me mandou! O enunciado pede para calcular o determinante de uma matriz 4x4 usando operações elementares até chegar em uma matriz triangular. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes e operações elementares. Para resolver, vamos precisar entender como transformar a matriz em uma forma triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros) e como as operações que fizermos afetam o valor do determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que queremos calcular o determinante:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. Para isso, vamos usar operações elementares de linha: troca de linhas, multiplicação de uma linha por um número diferente de zero e adição de múltiplos de uma linha a outra.
Passo 3
Começamos observando que o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) já é 1, o que facilita as coisas. Nosso próximo passo é eliminar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna.
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Eliminando o elemento (3,1): Queremos que o elemento na terceira linha e primeira coluna seja zero. Para isso, fazemos:
R3 = R3 - 2 times R1 Calculando:2 - 2 times 1 = 0 Aplicando isso na terceira linha:R3 = [2, 1, 2, 3] - 2 times [1, 0, -1, 4] = [0, 1, 4, -5] -
Eliminando o elemento (4,1): Vamos fazer algo similar para a quarta linha:
R4 = R4 + R1 Calculando:-1 + 1 = 0 Aplicando na quarta linha:R4 = [-1, 2, -1, 0] + [1, 0, -1, 4] = [0, 2, -2, 4]
Agora, a matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos focar no segundo pivô, que está na segunda linha e segunda coluna (valor 2). Queremos eliminar os elementos abaixo dele na segunda coluna.
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Eliminando o elemento (3,2):
R3 = R3 - 12 times R2 Calculando:1 - 12 times 2 = 0 4 - 12 times 1 = 72 -5 - 12 times 1 = -112 Assim:R3 = [0, 1, 4, -5] - 12 times [0, 2, 1, 1] = [0, 0, 72, -112] -
Eliminando o elemento (4,2):
R4 = R4 - R2 Calculando:2 - 2 = 0 -2 - 1 = -3 4 - 1 = 3 Então:R4 = [0, 2, -2, 4] - [0, 2, 1, 1] = [0, 0, -3, 3]
A matriz agora fica:
Passo 5
Agora, vamos eliminar o elemento (4,3) para deixar a matriz totalmente triangular superior.
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Eliminando o elemento (4,3):
R4 = R4 + 67 times R3 Calculando:-3 + 67 times 72 = -3 + 3 = 0 3 + 67 times (-112) = 3 - 337 = -127 Assim:R4 = [0, 0, -3, 3] + 67 times [0, 0, 72, -112] = [0, 0, 0, -127]
Agora, a matriz está em forma triangular superior:
Passo 6
Com a matriz triangular, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Vamos calcular:
Simplificando passo a passo:
Resposta
O determinante da matriz é -12.