Calcule os determinantes abaixo usando operações elementares até chegar em uma matriz triangular: (a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse determinante que você me mandou! O enunciado pede para calcular o determinante de uma matriz 4x4 usando operações elementares até chegar em uma matriz triangular. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes e operações elementares. Para resolver, vamos precisar entender como transformar a matriz em uma forma triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros) e como as operações que fizermos afetam o valor do determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que queremos calcular o determinante:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. Para isso, vamos usar operações elementares de linha: troca de linhas, multiplicação de uma linha por um número diferente de zero e adição de múltiplos de uma linha a outra.
Passo 3
Começamos observando que o primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) já é 1, o que facilita as coisas. Nosso próximo passo é eliminar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna.
Eliminando o elemento (3,1): Queremos que o elemento na terceira linha e primeira coluna seja zero. Para isso, fazemos:
Calculando:
Aplicando isso na terceira linha:
Eliminando o elemento (4,1): Vamos fazer algo similar para a quarta linha:
Calculando:
Aplicando na quarta linha:
Agora, a matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos focar no segundo pivô, que está na segunda linha e segunda coluna (valor 2). Queremos eliminar os elementos abaixo dele na segunda coluna.
Eliminando o elemento (3,2):
Calculando:
Assim:
Eliminando o elemento (4,2):
Calculando:
Então:
A matriz agora fica:
Passo 5
Agora, vamos eliminar o elemento (4,3) para deixar a matriz totalmente triangular superior.
Eliminando o elemento (4,3):
Calculando:
Assim:
Agora, a matriz está em forma triangular superior:
Passo 6
Com a matriz triangular, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Vamos calcular: