Sejam beta1=(-1,0),(1,1) e beta2=(-1,-1),(0,-1) bases ordenadas de R^2. Deter mine[I]beta1^beta2 e[I]beta2^beta1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases ordenadas de , chamadas e . Nosso objetivo é determinar as matrizes de mudança de base e . Para isso, vamos precisar saber como converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra utilizando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Vamos começar identificando as bases fornecidas:
beta1 = (-1,0), (1,1)
beta2 = (-1,-1), (0,-1)
Cada base possui dois vetores, pois estamos trabalhando no espaço .

Passo 3

Para encontrar a matriz de mudança de base v = c1v1,beta2 + c2v2,beta2 , precisamos expressar cada vetor de em termos de . Isso significa resolvermos o seguinte sistema para cada vetor de :
onde é um vetor de e , são os vetores da base .

Passo 4

Vamos expressar o primeiro vetor de (-1,0) = c1(-1,-1) + c2(0,-1) , que é -1 = -c1 + 0 cdot c2 , em termos de 0 = -c1 - c2 :
0 = -1 - c2 implies c2 = -1
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o primeiro, temos . Substituindo na segunda equação:

Passo 5

Agora, vamos expressar o segundo vetor de (1,1) = c1(-1,-1) + c2(0,-1) , que é 1 = -c1 + 0 cdot c2 , em termos de 1 = -c1 - c2 :
1 = 1 - c2 implies c2 = 0
Isso resulta no sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:

Passo 6

Com os coeficientes encontrados, a matriz de mudança de base [I]beta1^beta2 = 1 & -1 -1 & 0 é formada pelas colunas desses coeficientes:

Passo 7

Para encontrar (-1,-1) = c1(-1,0) + c2(1,1) , repetimos o processo, agora expressando cada vetor de -1 = -c1 + c2 em termos de (\beta_{1}}.
Primeiro, para o vetor -1 = 0 cdot c1 + c2 :
-1 = -c1 -1 implies c1 = 0
Sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:

Passo 8

Agora, para o vetor (0,-1) = c1(-1,0) + c2(1,1) :
0 = -c1 + c2
Sistema:
-1 = 0 cdot c1 + c2
0 = -c1 -1 implies c1 = -1
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:

Passo 9

Assim, a matriz de mudança de base [I]beta2^beta1 = 0 & -1 -1 & -1 é:

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
[I]beta1^beta2 = 1 & -1 -1 & 0
e
[I]beta2^beta1 = 0 & -1 -1 & -1

Exercícios relacionados