Sejam
e
bases ordenadas de
. Deter
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases ordenadas de
, chamadas
e
. Nosso objetivo é determinar as matrizes de mudança de base
e
. Para isso, vamos precisar saber como converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra utilizando matrizes de mudança de base.
Passo 2
Vamos começar identificando as bases fornecidas:
Cada base possui dois vetores, pois estamos trabalhando no espaço
.
Passo 3
Para encontrar a matriz de mudança de base
, precisamos expressar cada vetor de
em termos de
. Isso significa resolvermos o seguinte sistema para cada vetor de
:
onde
é um vetor de
e
,
são os vetores da base
.
Passo 4
Vamos expressar o primeiro vetor de
, que é
, em termos de
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo o primeiro, temos
. Substituindo na segunda equação:
Passo 5
Agora, vamos expressar o segundo vetor de
, que é
, em termos de
:
Isso resulta no sistema:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
Passo 6
Com os coeficientes encontrados, a matriz de mudança de base
é formada pelas colunas desses coeficientes:
Passo 7
Para encontrar
, repetimos o processo, agora expressando cada vetor de
em termos de (\beta_{1}}.
Primeiro, para o vetor
:
Sistema:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Passo 8
Agora, para o vetor
:
Sistema:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Passo 9
Assim, a matriz de mudança de base
é:
Resposta
As matrizes de mudança de base são:
e