Resolva os sistemas lineares A x=b abaixo usando eliminação de GaussJordan: (e) lx1+2 x2+x3=-1 3 x1+6 x2+3 x3+x4=3 2 x1+4 x2-3 x3-x4=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando a eliminação de Gauss-Jordan. O que a gente precisa fazer é transformar o sistema em uma matriz aumentada e então manipular as linhas para encontrar os valores das incógnitas. Vamos precisar entender bem como funciona essa eliminação e aplicar passo a passo para chegar na solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Cada linha da matriz representa uma das equações do sistema, e a última coluna são os resultados das equações.
1 & 2 & 1 & 0 & | & -1 3 & 6 & 3 & 1 & | & 3 2 & 4 & -3 & -1 & | & 2
Aqui, as colunas correspondem a e o lado direito das equações.

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminar os valores abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha). Para zerar os elementos na primeira coluna das linhas 2 e 3, usamos operações de linha.
  • Linha 2 = Linha 2 - 3 × Linha 1
  • Linha 3 = Linha 3 - 2 × Linha 1
1 & 2 & 1 & 0 & | & -1 0 & 0 & 0 & 1 & | & 6 0 & 0 & -5 & -1 & | & 4

Passo 4

Observamos que na segunda linha, apenas x4 = 6 tem um coeficiente diferente de zero. Isso já facilita, pois podemos diretamente encontrar o valor de .
Da segunda linha:

Passo 5

Vamos agora olhar para a terceira linha, que ficou:
-5x3 - x4 = 4
Substituindo -5x3 - 6 = 4 -5x3 = 10 x3 = -2 :

Passo 6

Com x1 + 2x2 + x3 = -1 x1 + 2x2 - 2 = -1 x1 + 2x2 = 1 x1 = 1 - 2x2 e x1 = 1 - 2t x2 = t , vamos voltar para a primeira equação para encontrar e :
Aqui, é uma variável livre, ou seja, pode assumir qualquer valor real. Vamos chamá-la de .

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 1 - 2t x2 = t x3 = -2 x4 = 6
onde é um número real qualquer.

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