Se uma matriz é inversível, então aplicando a eliminação de Gauss na matriz encontraremos , onde é a matriz identidade. Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan:
(a)
(b)
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Passo 1

Beleza, vamos resolver o item (a) desse exercício. A gente precisa encontrar a inversa da matriz usando a eliminação de Gauss-Jordan. A matriz que a gente tem é:
Para isso, vamos montar a matriz aumentada , onde é a matriz identidade, e aplicar operações de linha até transformarmos a parte de em . No final, a parte que estava como vai virar .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada :

Passo 3

O objetivo é deixar a parte da esquerda como a identidade. Vamos começar fazendo o primeiro elemento da primeira linha ser 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 2:
Ficando:

Passo 4

Agora, vamos zerar o primeiro elemento da segunda linha. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda:
Ficando:

Passo 5

Vamos também zerar o primeiro elemento da terceira linha, mas ele já é zero, então não precisa fazer nada nessa linha.

Passo 6

Agora, vamos trabalhar com o segundo pivô, que está na posição . Queremos que ele seja 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por :
Ficando:

Passo 7

Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo do segundo pivô (posição ). Primeiro, na primeira linha:
E na terceira linha:
Aplicando essas operações:
Primeira linha:
Terceira linha:
Ficando:

Passo 8

Agora, vamos tratar do terceiro pivô, que está na posição . Queremos que ele seja 1. Para isso, dividimos a terceira linha por 4:
Ficando:

Passo 9

Agora, vamos zerar os elementos acima do terceiro pivô. Primeiro, na primeira linha:
E na segunda linha:
Aplicando essas operações:
Primeira linha:
Segunda linha:
Ficando:

Resposta

A inversa da matriz é:

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