Beleza, vamos resolver o item (a) desse exercício. A gente precisa encontrar a inversa da matriz usando a eliminação de Gauss-Jordan. A matriz que a gente tem é:
Para isso, vamos montar a matriz aumentada , onde é a matriz identidade, e aplicar operações de linha até transformarmos a parte de em . No final, a parte que estava como vai virar .
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada :
Passo 3
O objetivo é deixar a parte da esquerda como a identidade. Vamos começar fazendo o primeiro elemento da primeira linha ser 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 2:
Ficando:
Passo 4
Agora, vamos zerar o primeiro elemento da segunda linha. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda:
Ficando:
Passo 5
Vamos também zerar o primeiro elemento da terceira linha, mas ele já é zero, então não precisa fazer nada nessa linha.
Passo 6
Agora, vamos trabalhar com o segundo pivô, que está na posição . Queremos que ele seja 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por :
Ficando:
Passo 7
Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo do segundo pivô (posição ). Primeiro, na primeira linha:
E na terceira linha:
Aplicando essas operações:
Primeira linha:
Terceira linha:
Ficando:
Passo 8
Agora, vamos tratar do terceiro pivô, que está na posição . Queremos que ele seja 1. Para isso, dividimos a terceira linha por 4:
Ficando:
Passo 9
Agora, vamos zerar os elementos acima do terceiro pivô. Primeiro, na primeira linha: