Se uma matriz A é inversível, então aplicando a eliminação de Gauss na matriz [A mid I] encontraremos [I mid A^-1], onde I é a matriz identidade. Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan:
(a) [lll2 & 1 & 1 1 & 0 & 1 0 & 3 & 1]
(b) [ccc1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 2 & 1 & 0]
© [rrrr-1 & 0 & -1 & 0 5 & 4 & 0 & 1 2 & 0 & 1 & 0 3 & 2 & 0 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item (a) desse exercício. A gente precisa encontrar a inversa da matriz A = 2 & 1 & 1 1 & 0 & 1 0 & 3 & 1 usando a eliminação de Gauss-Jordan. A matriz que a gente tem é:
Para isso, vamos montar a matriz aumentada , onde é a matriz identidade, e aplicar operações de linha até transformarmos a parte de em . No final, a parte que estava como vai virar .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada [ccc|ccc 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 ] :

Passo 3

O objetivo é deixar a parte da esquerda como a identidade. Vamos começar fazendo o primeiro elemento da primeira linha ser 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 2:
R1 = 12 R1
Ficando:
[ccc|ccc 1 & 12 & 12 & 12 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora, vamos zerar o primeiro elemento da segunda linha. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda:
R2 = R2 - R1
Ficando:
[ccc|ccc 1 & 12 & 12 & 12 & 0 & 0 0 & -12 & 12 & -12 & 1 & 0 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Vamos também zerar o primeiro elemento da terceira linha, mas ele já é zero, então não precisa fazer nada nessa linha.

Passo 6

Agora, vamos trabalhar com o segundo pivô, que está na posição R2 = -2 times R2 . Queremos que ele seja 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por [ccc|ccc 1 & 12 & 12 & 12 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & 0 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 ] :
Ficando:

Passo 7

Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo do segundo pivô (posição R1 = R1 - 12 R2 ). Primeiro, na primeira linha:
R3 = R3 - 3 R2
E na terceira linha:
1 - 12(0) = 1 12 - 12(1) = 0 12 - 12(-1) = 1 12 - 12(1) = 0 0 - 12(-2) = 1 0 - 12(0) = 0
Aplicando essas operações:
Primeira linha:
0 - 3(0) = 0 3 - 3(1) = 0 1 - 3(-1) = 4 0 - 3(1) = -3 0 - 3(-2) = 6 1 - 3(0) = 1
Terceira linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 4 & -3 & 6 & 1 ]
Ficando:

Passo 8

Agora, vamos tratar do terceiro pivô, que está na posição R3 = 14 R3 . Queremos que ele seja 1. Para isso, dividimos a terceira linha por 4:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 & -34 & 32 & 14 ]
Ficando:

Passo 9

Agora, vamos zerar os elementos acima do terceiro pivô. Primeiro, na primeira linha:
R1 = R1 - R3
E na segunda linha:
R2 = R2 + R3
Aplicando essas operações:
Primeira linha:
1 - 0 = 1 0 - 0 = 0 1 - 1 = 0 0 - (-34) = 34 1 - 32 = -12 0 - 14 = -14
Segunda linha:
0 + 0 = 0 1 + 0 = 1 -1 + 1 = 0 1 + (-34) = 14 -2 + 32 = -12 0 + 14 = 14
Ficando:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 34 & -12 & -14 0 & 1 & 0 & 14 & -12 & 14 0 & 0 & 1 & -34 & 32 & 14 ]

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 34 & -12 & -14 14 & -12 & 14 -34 & 32 & 14 é:

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