Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan: ©

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa da matriz dada usando o método de eliminação de Gauss-Jordan. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente trabalha com matrizes e suas propriedades. Para isso, vamos precisar montar uma matriz aumentada com a matriz original e a identidade, e depois fazer várias operações de linhas para chegar na inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz original e adicionar a matriz identidade do mesmo tamanho junto dela. A matriz original é:
E a matriz identidade 4x4 é:
Então, a matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Agora, vamos usar operações de linhas para transformar a parte esquerda da matriz aumentada na identidade. A primeira coisa que queremos é ter um 1 no primeiro elemento da primeira linha. Nosso primeiro elemento é -1, então podemos multiplicar toda a primeira linha por -1:
A matriz fica:

Passo 4

Em seguida, queremos zerar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos 5 vezes a primeira linha da segunda linha:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da quarta linha:
Aplicando essas operações, a matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. A segunda linha atualmente tem 4 na segunda posição, então dividimos toda a segunda linha por 4:
A matriz fica:

Passo 6

Vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Para isso:
  • A quarta linha tem 2 na segunda posição, então subtraímos 2 vezes a segunda linha da quarta linha:
Aplicando essa operação, a matriz fica:

Passo 7

Agora, vamos para a terceira coluna. Queremos que o terceiro elemento da terceira linha seja 1. Atualmente, está -1, então multiplicamos a terceira linha por -1:
A matriz fica:

Passo 8

Vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na terceira coluna.
  • Subtraímos a terceira linha da primeira linha:
  • Adicionamos vezes a terceira linha à segunda linha:
  • Adicionamos vezes a terceira linha à quarta linha:
Aplicando essas operações, a matriz fica:
Simplificando:

Passo 9

Agora, focamos na quarta coluna. Queremos que o quarto elemento da quarta linha seja 1. Atualmente, está , então multiplicamos a quarta linha por 2:
A matriz fica:

Passo 10

Finalmente, vamos zerar os elementos acima do 1 na quarta coluna.
  • Subtraímos vezes a quarta linha da segunda linha:
Aplicando essa operação, a matriz fica:
Simplificando:

Resposta

A inversa da matriz dada é:

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