Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan: © [rrrr-1 & 0 & -1 & 0 5 & 4 & 0 & 1 2 & 0 & 1 & 0 3 & 2 & 0 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa da matriz dada usando o método de eliminação de Gauss-Jordan. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente trabalha com matrizes e suas propriedades. Para isso, vamos precisar montar uma matriz aumentada com a matriz original e a identidade, e depois fazer várias operações de linhas para chegar na inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz original e adicionar a matriz identidade do mesmo tamanho junto dela. A matriz original é:
-1 & 0 & -1 & 0 5 & 4 & 0 & 1 2 & 0 & 1 & 0 3 & 2 & 0 & 1
E a matriz identidade 4x4 é:
1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Então, a matriz aumentada fica assim:
[cccc|cccc -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 5 & 4 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Agora, vamos usar operações de linhas para transformar a parte esquerda da matriz aumentada na identidade. A primeira coisa que queremos é ter um 1 no primeiro elemento da primeira linha. Nosso primeiro elemento é -1, então podemos multiplicar toda a primeira linha por -1:
R1 = -1 times R1
A matriz fica:
[cccc|cccc 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 5 & 4 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Em seguida, queremos zerar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos 5 vezes a primeira linha da segunda linha:
    R2 = R2 - 5 times R1
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
    R3 = R3 - 2 times R1
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da quarta linha:
    R4 = R4 - 3 times R1
Aplicando essas operações, a matriz fica:
[cccc|cccc 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & -5 & 1 & 5 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & -3 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. A segunda linha atualmente tem 4 na segunda posição, então dividimos toda a segunda linha por 4:
R2 = 14 times R2
A matriz fica:
[cccc|cccc 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -54 & 14 & 54 & 14 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & -3 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 6

Vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Para isso:
  • A quarta linha tem 2 na segunda posição, então subtraímos 2 vezes a segunda linha da quarta linha:
    R4 = R4 - 2 times R2
Aplicando essa operação, a matriz fica:
[cccc|cccc 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -54 & 14 & 54 & 14 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -12 & 12 & 12 & -12 & 0 & 1 ]

Passo 7

Agora, vamos para a terceira coluna. Queremos que o terceiro elemento da terceira linha seja 1. Atualmente, está -1, então multiplicamos a terceira linha por -1:
R3 = -1 times R3
A matriz fica:
[cccc|cccc 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -54 & 14 & 54 & 14 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & -12 & 12 & 12 & -12 & 0 & 1 ]

Passo 8

Vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na terceira coluna.
  • Subtraímos a terceira linha da primeira linha:
    R1 = R1 - R3
  • Adicionamos R2 = R2 + 54 times R3 vezes a terceira linha à segunda linha:
    R4 = R4 + 12 times R3
  • Adicionamos [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 14 & 54 + 54 times (-2) & 14 + 54 times 0 & 0 + 54 times (-1) & 0 + 54 times 0 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 12 & 12 + 12 times (-2) & -12 + 12 times 0 & 0 + 12 times (-1) & 1 + 12 times 0 ] vezes a terceira linha à quarta linha:
    [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 14 & -2.5 & 14 & -54 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 12 & -0.5 & -12 & -12 & 1 ]
Aplicando essas operações, a matriz fica:
Simplificando:

Passo 9

Agora, focamos na quarta coluna. Queremos que o quarto elemento da quarta linha seja 1. Atualmente, está R4 = 2 times R4 , então multiplicamos a quarta linha por 2:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 14 & -2.5 & 14 & -54 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & -1 & 2 ]
A matriz fica:

Passo 10

Finalmente, vamos zerar os elementos acima do 1 na quarta coluna.
  • Subtraímos R2 = R2 - 14 times R4 vezes a quarta linha da segunda linha:
    [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & -2.5 + 14 & 14 + 14 & -54 + 14 & -12 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & -1 & 2 ]
Aplicando essa operação, a matriz fica:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & -2.25 & 12 & -1 & -12 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & -1 & 2 ]
Simplificando:

Resposta

A inversa da matriz dada é:
1 & 0 & 1 & 0 -2.25 & 0.5 & -1 & -0.5 -2 & 0 & -1 & 0 -1 & -1 & -1 & 2

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