Calcule os determinantes através da expansão em cofatores:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse determinante de uma matriz 5x5 usando a expansão por cofatores. O determinante é um valor que nos ajuda a entender algumas propriedades da matriz, como se ela é invertível. Para resolver, vamos precisar da fórmula da expansão por cofatores e entender como calcular menores e cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma linha ou coluna que tenha mais zeros para facilitar os cálculos. Olhando para a matriz, a segunda coluna tem dois zeros:
Vamos expandir pelo segundo coluna.

Passo 3

A fórmula da expansão por cofatores para a segunda coluna é:
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores.

Passo 4

Observando os elementos da segunda coluna:
Como muitos são zero, só precisamos calcular o termo .

Passo 5

Calculando o cofator :
Aqui, é o menor correspondente, que é o determinante da matriz 4x4 sem a terceira linha e segunda coluna:

Passo 6

Calculando , vamos expandir novamente por cofatores. Vamos escolher a segunda linha, que tem dois zeros para facilitar:

Passo 7

Calculando o cofator :
Onde é o determinante da matriz 3x3 sem a segunda linha e segunda coluna:

Passo 8

Calculando usando a regra de Sarrus:

Passo 9

Voltando para :
Então,

Passo 10

Agora, calculando :

Passo 11

Voltando para a expansão original:

Resposta

O determinante da matriz é .

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