Calcule os determinantes através da expansão em cofatores:
|ccccc4 & 0 & -7 & 3 & -5 0 & 0 & 2 & 0 & 0 7 & 3 & -6 & 4 & -8 5 & 0 & 5 & 2 & -3 0 & 0 & 9 & -1 & 2|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse determinante de uma matriz 5x5 usando a expansão por cofatores. O determinante é um valor que nos ajuda a entender algumas propriedades da matriz, como se ela é invertível. Para resolver, vamos precisar da fórmula da expansão por cofatores e entender como calcular menores e cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma linha ou coluna que tenha mais zeros para facilitar os cálculos. Olhando para a matriz, a segunda coluna tem dois zeros:
4 & 0 & -7 & 3 & -5 0 & 0 & 2 & 0 & 0 7 & 3 & -6 & 4 & -8 5 & 0 & 5 & 2 & -3 0 & 0 & 9 & -1 & 2
Vamos expandir pelo segundo coluna.

Passo 3

A fórmula da expansão por cofatores para a segunda coluna é:
det(A) = a12C12 + a22C22 + a32C32 + a42C42 + a52C52
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores.

Passo 4

Observando os elementos da segunda coluna:
a12 = 0, a22 = 0, a32 = 3, a42 = 0, a52 = 0
Como muitos são zero, só precisamos calcular o termo .

Passo 5

Calculando o cofator C32 = (-1)^3+2 cdot M32 :
M32 = 4 & -7 & 3 & -5 0 & 2 & 0 & 0 5 & 5 & 2 & -3 0 & 9 & -1 & 2
Aqui, é o menor correspondente, que é o determinante da matriz 4x4 sem a terceira linha e segunda coluna:

Passo 6

Calculando det(M32) = 0 cdot C21 + 2 cdot C22 + 0 cdot C23 + 0 cdot C24 = 2 cdot C22 , vamos expandir novamente por cofatores. Vamos escolher a segunda linha, que tem dois zeros para facilitar:

Passo 7

Calculando o cofator C22 = (-1)^2+2 cdot M22 :
M22 = 4 & 3 & -5 5 & 2 & -3 0 & -1 & 2
Onde é o determinante da matriz 3x3 sem a segunda linha e segunda coluna:

Passo 8

Calculando M22 = 4(2 cdot 2 - (-3)(-1)) - 3(5 cdot 2 - (-3)(0)) + (-5)(5 cdot (-1) - 2 cdot 0) usando a regra de Sarrus:
= 4(4 - 3) - 3(10 - 0) + (-5)(-5 - 0)
= 4(1) - 3(10) + (-5)(-5)
= 4 - 30 + 25 = -1

Passo 9

Voltando para C22 = 1 cdot (-1) = -1 :
det(M32) = 2 cdot (-1) = -2
Então,

Passo 10

Agora, calculando C32 = (-1)^5 cdot (-2) = -1 cdot (-2) = 2 :

Passo 11

Voltando para a expansão original:
det(A) = 3 cdot 2 = 6

Resposta

O determinante da matriz é .

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