Encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas de equações lineares:
lx1+x2-2 x3+3 x4=4 2 x1+3 x2+3 x3-x4=3 5 x1+7 x2+4 x3+x4=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que você enviou. Aqui estamos lidando com álgebra linear, especificamente com um sistema de 3 equações e 4 incógnitas. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
x1 + x2 - 2x3 + 3x4 = 4 2x1 + 3x2 + 3x3 - x4 = 3 5x1 + 7x2 + 4x3 + x4 = 5
Nosso objetivo é reduzir esse sistema para encontrar os valores de algumas das variáveis em termos das outras.

Passo 3

Vamos começar eliminando 2(x1 + x2 - 2x3 + 3x4) = 2 times 4 Rightarrow 2x1 + 2x2 - 4x3 + 6x4 = 8 das equações 2 e 3 usando a equação 1. Para isso, multiplicamos a equação 1 por 2 e subtraímos da equação 2:
(2x1 + 3x2 + 3x3 - x4) - (2x1 + 2x2 - 4x3 + 6x4) = 3 - 8 Rightarrow x2 + 7x3 - 7x4 = -5
Agora, subtraímos essa nova equação da equação 2:
Mu
Fazemos o mesmo para a equa�o 3:
5(x1 + x2 - 2x3 + 3x4) = 5 times 4 Rightarrow 5x1 + 5x2 - 10x3 + 15x4 = 20 çãíçã
(5x1 + 7x2 + 4x3 + x4) - (5x1 + 5x2 - 10x3 + 15x4) = 5 - 20 Rightarrow 2x2 + 14x3 - 14x4 = -15
Subtraindo da equação 3:

Passo 4

Agora, temos um sistema simplificado:
x1 + x2 - 2x3 + 3x4 = 4 x2 + 7x3 - 7x4 = -5 2x2 + 14x3 - 14x4 = -15
Observamos que a terceira equação é o dobro da segunda multiplicado por 2:
2(x2 + 7x3 - 7x4) = 2(-5) Rightarrow 2x2 + 14x3 - 14x4 = -10
Comparando com a terceira equação , percebemos que não há solução consistente a menos que tenhamos variáveis livres. Portanto, vamos considerar uma das variáveis como livre, por exemplo, , onde é um parâmetro real.

Passo 5

Agora, expressamos x2 + 7x3 - 7t = -5 Rightarrow x2 = -5 - 7x3 + 7t em termos de x1 + (-5 - 7x3 + 7t) - 2x3 + 3t = 4 Rightarrow x1 -5 - 7x3 + 7t - 2x3 + 3t = 4 Rightarrow x1 -9x3 + 10t = 9 Rightarrow x1 = 9x3 - 10t + 9 e :
Substituímos na primeira equa��ão para encontrar :

Passo 6

Agora, escolhemos x1 = 9s - 10t + 9 x2 = -5 - 7s + 7t x3 = s x4 = t como outra variável livre, digamos , onde é outro parâmetro real. Dessa forma, podemos expressar todas as variáveis em termos de e :

Resposta

O conjunto solução do sistema é dado por todos os vetores x1 = 9s - 10t + 9 x2 = -5 - 7s + 7t x3 = s x4 = t onde:
Onde e são números reais quaisquer.

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