Encontre a inversa das seguintes matrizes:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar a inversa da matriz . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes. Primeiro, precisamos entender que uma matriz inversa existe se o determinante dela for diferente de zero. Vamos seguir passo a passo para encontrar essa inversa.

Passo 2

Calcular o determinante da matriz
O primeiro passo é calcular o determinante de . Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser encontrado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pela primeira linha:
Calculando os determinantes menores:
Substituindo de volta:
Como o determinante não é zero ( ), a matriz possui uma inversa.

Passo 3

Encontrar a matriz dos cofatores de
Para encontrar a inversa, precisamos calcular a matriz dos cofatores. Cada elemento dessa matriz é dado por , onde é o determinante do menor obtido removendo a i-ésima linha e j-ésima coluna de .
Calculando cada cofator:
Então, a matriz dos cofatores é:

Passo 4

Calcular a adjunta de
A adjunta de uma matriz é a transposta da matriz dos cofatores. Vamos transpor :

Passo 5

Encontrar a inversa de
A inversa de é dada por:
Como , temos:

Resposta

A inversa da matriz é:

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Resolva os seguintes determinantes:
Modelo de Solow com capital humano
Suponha uma economia de Solow com capital humano descrita pelas seguintes equações:
As seguintes suposições são feitas: i) A(t) cresce a uma taxa constante g; ii) L(t) cresce a uma taxa constante n ; iii) cada indivíduo vive T anos, gasta E anos estudando e T-E anos trabalhando; iv) o número de pessoas nascidas por unidade de tempo, , cresce a uma taxa n ; v) a população total, , cresce a uma taxa ) a taxa de depreciação do capital é igual a ; vii) uma fração exógena do produto, , é poupada.
Proponha uma calibração para os parâmetros e E, e encontre o valor de no estado estacionário. Suponha uma alteração em E e mostre como isso afeta .
Calcule os determinantes através da expansão em cofatores:
Calcule cada soma ou produto, quando existir. Se não estiver definida, explique por quê. Sejam
Resolva .