Calcule os determinantes de: B=(ccc6 & -2 & 5 2 & 1 & 2 -3 & 2 & 3) pela Regra de Sarrus e Regra de Chió.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o determinante da matriz 6 & -2 & 5 2 & 1 & 2 -3 & 2 & 3 usando duas técnicas: a Regra de Sarrus e a Regra de Chió. Para isso, vamos precisar entender o que é determinante e como essas regras funcionam para matrizes 3x3.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Regra de Sarrus. Essa regra é específica para matrizes 3x3 e facilita o cálculo do determinante sem precisar usar expansão por cofatores.

Passo 3

A Regra de Sarrus consiste em duplicar as duas primeiras colunas da matriz à direita e então somar os produtos das diagonais principais e subtrair os produtos das diagonais secundárias. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 4

Vamos duplicar as duas primeiras colunas da matriz ccc|cc 6 & -2 & 5 & 6 & -2 2 & 1 & 2 & 2 & 1 -3 & 2 & 3 & -3 & 2 :

Passo 5

Agora, calculamos os produtos das diagonais principais:
Diagonal 1: & 6 times 1 times 3 = 18 Diagonal 2: & -2 times 2 times -3 = 12 Diagonal 3: & 5 times 2 times 2 = 20
Somando esses valores: .

Passo 6

Em seguida, calculamos os produtos das diagonais secundárias:
Diagonal 1: & 5 times 1 times -3 = -15 Diagonal 2: & -2 times 2 times 3 = -12 Diagonal 3: & 6 times 2 times 2 = 24
Somando esses valores: .

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da Regra de Sarrus:
Determinante = Soma das diagonais principais - Soma das diagonais secundárias = 50 - (-3) = 53 á

Passo 8

Vamos agora calcular o determinante usando a Regra de Chió. Essa regra utiliza a multiplicação cruzada dos elementos da matriz para encontrar o determinante.

Passo 9

A Regra de Chió para uma matriz 3x3 a & b & c d & e & f g & h & i é dada por:
Determinante = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Passo 10

Aplicando os valores da matriz a &= 6, b = -2, c = 5, d &= 2, e = 1, f = 2, g &= -3, h = 2, i = 3 :

Passo 11

Calculamos cada termo da fórmula:
ei - fh &= (1 times 3) - (2 times 2) = 3 - 4 = -1 di - fg &= (2 times 3) - (2 times -3) = 6 + 6 = 12 dh - eg &= (2 times 2) - (1 times -3) = 4 + 3 = 7

Passo 12

Substituímos na fórmula:
Determinante &= 6 times (-1) - (-2) times 12 + 5 times 7 &= -6 + 24 + 35 &= 53

Resposta

O determinante da matriz é 53 tanto pela Regra de Sarrus quanto pela Regra de Chió.

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