Encontre todos os valores de k para os quais A não é inversível.
Passo 1
Beleza, vamos por partes. A gente tem uma matriz e precisamos descobrir para quais valores de essa matriz não é inversível. Isso significa que a matriz não tem uma matriz inversa. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante da matriz, que nos ajuda a saber se a matriz é inversível ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz quadrada é inversível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Ou seja, se , então é inversível. Nosso objetivo é encontrar os valores de que fazem com que .
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz A = k-3 & 0 & 3 0 & k+2 & 0 -5 & 0 & k+5 :
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores na primeira linha:
Passo 4
Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
k+2 & 0 0 & k+5
O segundo termo é zero porque está multiplicado por zero.
0 & k+2 -5 & 0
Passo 5
Substituindo de volta na expressão do determinante: