Encontre todos os valores de k para os quais A não é inversível.
A=[ccc k-3 & 0 & 3 0 & k+2 & 0 -5 & 0 & k+5 ]

Passo 1

Beleza, vamos por partes. A gente tem uma matriz e precisamos descobrir para quais valores de essa matriz não é inversível. Isso significa que a matriz não tem uma matriz inversa. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante da matriz, que nos ajuda a saber se a matriz é inversível ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz quadrada é inversível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Ou seja, se , então é inversível. Nosso objetivo é encontrar os valores de que fazem com que .

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A = k-3 & 0 & 3 0 & k+2 & 0 -5 & 0 & k+5 :
det(A) = (k-3) cdot det k+2 & 0 0 & k+5 - 0 cdot det 0 & 0 -5 & k+5 + 3 cdot det 0 & k+2 -5 & 0
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores na primeira linha:

Passo 4

Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
  1. k+2 & 0 0 & k+5
  2. O segundo termo é zero porque está multiplicado por zero.
  3. 0 & k+2 -5 & 0

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do determinante:
det(A) = (k-3)(k+2)(k+5) + 3 cdot 5(k+2)
det(A) = (k-3)(k+2)(k+5) + 15(k+2)

Passo 6

Vamos fatorar det(A) = (k+2)[(k-3)(k+5) + 15] :
(k-3)(k+5) = k^2 + 5k - 3k -15 = k^2 + 2k -15
Calculando dentro dos colchetes:
det(A) = (k+2)(k^2 + 2k -15 + 15) = (k+2)(k^2 + 2k)
Então:
det(A) = (k+2)k(k + 2)
det(A) = k(k+2)^2

Passo 7

Agora, queremos que k(k+2)^2 = 0 :
Isso acontece quando qualquer fator é zero:

Resposta

Os valores de que fazem com que não seja inversível são e .

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