Calcule os determinantes det(L) e det(U) das matrizes L e U obtidas no exercício 1, e use isto para calcular det(A).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular os determinantes das matrizes e que foram obtidas no exercício anterior, além de usar esses determinantes para encontrar o determinante da matriz . Para isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades de determinantes e das matrizes triangulares.

Passo 2

Vamos começar calculando o determinante da matriz det(L) = l11 times l22 times ldots times lnn . A matriz é uma matriz triangular inferior, o que significa que todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Para matrizes triangulares, o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Então, se tem elementos na diagonal, o determinante de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(U) = u11 times u22 times ldots times unn . A matriz é uma matriz triangular superior, o que significa que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Assim como para as matrizes triangulares inferiores, o determinante de uma matriz triangular superior também é o produto dos elementos da diagonal principal. Se tem elementos na diagonal, então:

Passo 4

Por fim, para encontrar o determinante da matriz det(A) = det(L) times det(U) , utilizamos a propriedade de que se uma matriz pode ser decomposta em , então:
Portanto, multiplicamos os determinantes que calculamos nos passos anteriores para obter o determinante de .

Resposta

O determinante da matriz det(A) = det(L) times det(U) é igual ao produto dos determinantes de e , ou seja:

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