Encontre a inversa de cada matriz dada se possível: A=[lll1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a inversa da matriz , se ela existir. Estamos lidando com matrizes e conceitos de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e a sua matriz adjunta. Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe e pode ser encontrada dividindo a adjunta pelo determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante nos diz se a matriz tem inversa ou não. Para uma matriz A = a & b & c d & e & f g & h & i , o determinante é dado por:
A = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1
Onde:
det(A) = 1(1 cdot 1 - 2 cdot 1) - 2(0 cdot 1 - 2 cdot 1) + 1(0 cdot 1 - 1 cdot 1)
Aplicando isso à nossa matriz det(A) = 1(1 - 2) - 2(0 - 2) + 1(0 - 1) = 1(-1) - 2(-2) + 1(-1) = -1 + 4 -1 = 2 :
Então:
Calculando cada parte:
Como o determinante é 2, que é diferente de zero, a inversa da matriz existe.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. Primeiro, precisamos encontrar os cofatores de cada elemento de 1 & 2 1 & 1.
Os cofatores são calculados assim:
0 & 2 1 & 1
Onde 0 & 1 1 & 1 é o menor da posição 2 & 1 1 & 1, ou seja, o determinante da submatriz que sobra quando removemos a linha 1 & 1 1 & 1 e a coluna 1 & 2 1 & 1.
Vamos calcular os cofatores para cada elemento de 2 & 1 1 & 2:
  1. 1 & 1 0 & 2
  2. 1 & 2 0 & 1
  3. C = -1 & 2 & -1 -1 & 0 & 1 3 & -2 & 1
Agora, a matriz dos cofatores é:

Passo 4

Em seguida, vamos obter a matriz adjunta, que é a transposta da matriz dos cofatores adj(A) = C^T = -1 & -1 & 3 2 & 0 & -2 -1 & 1 & 1 . Ou seja, trocamos linhas por colunas:

Passo 5

Agora, podemos encontrar a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) usando a fórmula:
A^-1 = 12 cdot -1 & -1 & 3 2 & 0 & -2 -1 & 1 & 1 = -12 & -12 & 32 1 & 0 & -1 -12 & 12 & 12
Já calculamos que , então:

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = -12 & -12 & 32 1 & 0 & -1 -12 & 12 & 12 é:

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