Encontre a inversa de cada matriz dada se possível:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a inversa da matriz , se ela existir. Estamos lidando com matrizes e conceitos de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e a sua matriz adjunta. Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe e pode ser encontrada dividindo a adjunta pelo determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante nos diz se a matriz tem inversa ou não. Para uma matriz A = a & b & c d & e & f g & h & i , o determinante é dado por:
Como o determinante é 2, que é diferente de zero, a inversa da matriz existe.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. Primeiro, precisamos encontrar os cofatores de cada elemento de 1 & 2 1 & 1.
Os cofatores são calculados assim:
0 & 2 1 & 1
Onde 0 & 1 1 & 1 é o menor da posição 2 & 1 1 & 1, ou seja, o determinante da submatriz que sobra quando removemos a linha 1 & 1 1 & 1 e a coluna 1 & 2 1 & 1.
Vamos calcular os cofatores para cada elemento de 2 & 1 1 & 2:
1 & 1 0 & 2
1 & 2 0 & 1
C = -1 & 2 & -1 -1 & 0 & 1 3 & -2 & 1
Agora, a matriz dos cofatores é:
Passo 4
Em seguida, vamos obter a matriz adjunta, que é a transposta da matriz dos cofatores adj(A) = C^T = -1 & -1 & 3 2 & 0 & -2 -1 & 1 & 1 . Ou seja, trocamos linhas por colunas:
Passo 5
Agora, podemos encontrar a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) usando a fórmula: