Resolva o sistema linear
da seguinte forma:
(a) Resolva o sistema auxiliar
.
(b) Se
é a solução do item (a), resolva
.
© Verifique que a solução encontrada no item (b) é uma solução de
.
(a) Resolva o sistema auxiliar
(b) Se
© Verifique que a solução encontrada no item (b) é uma solução de
Passo 1
Vamos resolver o sistema linear
. Para isso, vamos utilizar a decomposição de
em uma matriz triangular inferior
e uma matriz triangular superior
, ou seja,
. Precisaremos resolver primeiro o sistema auxiliar
para encontrar
, e depois resolver
para encontrar a solução
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema auxiliar
. Como
é uma matriz triangular inferior, podemos resolver facilmente as equações começando pela primeira linha. Isso significa que a primeira equação terá apenas uma incógnita, a segunda terá duas, e assim por diante. Aplicamos o método de substituição para encontrar cada componente de
.
Passo 3
Uma vez que encontramos
resolvendo
, agora precisamos resolver o sistema
. Aqui,
é uma matriz triangular superior, então resolvemos as equações começando pela última linha para cima. Isso também é feito usando o método de substituição, mas desta vez de trás para frente, para encontrar cada componente de
.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se a solução
encontrada realmente satisfaz o sistema original
. Para isso, basta multiplicar a matriz
pela solução
e conferir se o resultado é igual a
. Se sim, nossa solução está correta.
Resposta
A solução do sistema
é o vetor
encontrado ao resolver
, onde
é a solução de
.