Vamos resolver o sistema linear . Para isso, vamos utilizar a decomposição de em uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior , ou seja, . Precisaremos resolver primeiro o sistema auxiliar para encontrar , e depois resolver para encontrar a solução .
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema auxiliar . Como é uma matriz triangular inferior, podemos resolver facilmente as equações começando pela primeira linha. Isso significa que a primeira equação terá apenas uma incógnita, a segunda terá duas, e assim por diante. Aplicamos o método de substituição para encontrar cada componente de .
Passo 3
Uma vez que encontramos resolvendo , agora precisamos resolver o sistema . Aqui, é uma matriz triangular superior, então resolvemos as equações começando pela última linha para cima. Isso também é feito usando o método de substituição, mas desta vez de trás para frente, para encontrar cada componente de .
Passo 4
Por fim, vamos verificar se a solução encontrada realmente satisfaz o sistema original . Para isso, basta multiplicar a matriz pela solução e conferir se o resultado é igual a . Se sim, nossa solução está correta.
Resposta
A solução do sistema é o vetor encontrado ao resolver , onde é a solução de .