Considere os vetores V=(c2 3 -1) e W=(c1 1 -1).
Encontre uma equação geral do plano paralelo a V e a W e que contém o ponto P=(1,-3,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores 2 3 -1 e 1 1 -1 . A missão é encontrar a equação geral de um plano que seja paralelo a esses dois vetores e que passe pelo ponto . Para isso, vamos precisar entender como encontrar um vetor normal ao plano usando os vetores e , e depois usar esse vetor normal para montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um vetor que seja perpendicular tanto a V times W = i & j & k 2 & 3 & -1 1 & 1 & -1 quanto a V times W = i(3 cdot (-1) - (-1) cdot 1) - j(2 cdot (-1) - (-1) cdot 1) + k(2 cdot 1 - 3 cdot 1) . Esse vetor perpendicular é chamado de vetor normal ao plano. Para achar isso, usamos o produto vetorial ( V times W = i(-3 + 1) - j(-2 + 1) + k(2 - 3) ) dos vetores V times W = -2 1 -1 e -2 1 -1 . O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.
Vamos calcular :
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 3

Agora que temos o vetor normal -2 1 -1 , podemos usar a equação geral do plano que passa por um ponto A B C e tem vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 :
-2(x - 1) + 1(y + 3) -1(z + 1) = 0
Substituindo os valores que temos:
-2x + 2 + y + 3 - z - 1 = 0
Vamos simplificar essa equação:
-2x + y - z + 4 = 0

Resposta

A equação geral do plano é:
-2x + y - z + 4 = 0

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