Sejam A=(1 ;-1) e B=(4 ; 1) vértices do paralelogramo P=A B D C. Sabendo que as diagonais de P se cortam no ponto M=(3 ; 2), determine os vértices C e D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois pontos, e , que são vértices de um paralelogramo . Sabemos também que as diagonais desse paralelogramo se cruzam no ponto . Nosso objetivo aqui é descobrir onde estão os outros dois vértices, e .
Pra resolver isso, vamos usar um pouco de geometria relacionada a paralelogramos, especificamente sobre como as diagonais se comportam. Lembra que nas figuras assim, as diagonais se cortam ao meio, ou seja, o ponto de interseção é o ponto médio de ambas as diagonais. Então, vamos aproveitar essa informação pra achar e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto Mx = Ax + Cx2 e My = Ay + Cy2 . Sabemos que 3 = 1 + Cx2 e 2 = -1 + Cy2 é o ponto médio da diagonal . Isso significa que as coordenadas de são a média das coordenadas de e .
Então, podemos escrever:
Substituindo os valores que temos:

Passo 3

Vamos resolver essas duas equações pra achar 3 = 1 + Cx2 Rightarrow 3 times 2 = 1 + Cx Rightarrow 6 = 1 + Cx Rightarrow Cx = 6 - 1 Rightarrow Cx = 5 e 2 = -1 + Cy2 Rightarrow 2 times 2 = -1 + Cy Rightarrow 4 = -1 + Cy Rightarrow Cy = 4 + 1 Rightarrow Cy = 5 .
Para :
Para :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o ponto Mx = Bx + Dx2 e My = By + Dy2 . Sabemos que 3 = 4 + Dx2 e 2 = 1 + Dy2 também é o ponto médio da diagonal . Assim, usamos a mesma lógica:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos resolver essas equações pra achar 3 = 4 + Dx2 Rightarrow 3 times 2 = 4 + Dx Rightarrow 6 = 4 + Dx Rightarrow Dx = 6 - 4 Rightarrow Dx = 2 e 2 = 1 + Dy2 Rightarrow 2 times 2 = 1 + Dy Rightarrow 4 = 1 + Dy Rightarrow Dy = 4 - 1 Rightarrow Dy = 3 .
Para :
Para :
Então, .

Resposta

Os vértices são e .

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