Calcule os determinantes escalonando a matriz:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o determinante dessa matriz 4x4. A gente vai usar o método de escalonamento, que basicamente transforma a matriz em uma forma triangular superior para facilitar o cálculo do determinante. Para isso, vamos precisar conhecer operações com linhas e como elas afetam o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que queremos calcular o determinante:

Passo 3

Vamos começar escalonando a matriz. Nosso objetivo é transformar os elementos abaixo da diagonal principal em zeros usando operações de linha.
Operação 1: Vamos zerar o elemento da segunda linha, primeira coluna. Para isso, podemos substituir a segunda linha pela soma da segunda linha com 2 vezes a primeira linha:
Isso resulta em:

Passo 4

Operação 2: Agora, vamos zerar o elemento da terceira linha, primeira coluna. Substituímos a terceira linha pela terceira linha menos 3 vezes a primeira linha:
Ficamos com:

Passo 5

Operação 3: Vamos também zerar o elemento da quarta linha, primeira coluna. Substituímos a quarta linha pela quarta linha menos a primeira linha:
A matriz fica:

Passo 6

Operação 4: Agora, vamos focar na segunda coluna. Vamos zerar os elementos abaixo do pivô (que é 1 na segunda linha, segunda coluna). Primeiro, vamos zerar o elemento da terceira linha, segunda coluna:
E também o elemento da quarta linha, segunda coluna:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 7

Operação 5: Finalmente, vamos zerar o elemento da quarta linha, terceira coluna. Substituímos a quarta linha pela quarta linha menos a terceira linha:
A matriz escalonada fica:

Passo 8

Agora que a matriz está escalonada, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal multiplicado pelo fator de escala que foi aplicado durante as operações. Observando a matriz, temos:

Resposta

O determinante da matriz é 0.

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