Calcule os determinantes escalonando a matriz:
|cccc1 & 3 & 0 & 2 -2 & -5 & 7 & 4 3 & 5 & 2 & 1 1 & -1 & 2 & -3|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o determinante dessa matriz 4x4. A gente vai usar o método de escalonamento, que basicamente transforma a matriz em uma forma triangular superior para facilitar o cálculo do determinante. Para isso, vamos precisar conhecer operações com linhas e como elas afetam o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que queremos calcular o determinante:
1 & 3 & 0 & 2 -2 & -5 & 7 & 4 3 & 5 & 2 & 1 1 & -1 & 2 & -3

Passo 3

Vamos começar escalonando a matriz. Nosso objetivo é transformar os elementos abaixo da diagonal principal em zeros usando operações de linha.
Operação 1: Vamos zerar o elemento da segunda linha, primeira coluna. Para isso, podemos substituir a segunda linha pela soma da segunda linha com 2 vezes a primeira linha:
R2 = R2 + 2R1
Isso resulta em:
1 & 3 & 0 & 2 0 & 1 & 7 & 8 3 & 5 & 2 & 1 1 & -1 & 2 & -3

Passo 4

Operação 2: Agora, vamos zerar o elemento da terceira linha, primeira coluna. Substituímos a terceira linha pela terceira linha menos 3 vezes a primeira linha:
R3 = R3 - 3R1
Ficamos com:
1 & 3 & 0 & 2 0 & 1 & 7 & 8 0 & -4 & 2 & -5 1 & -1 & 2 & -3

Passo 5

Operação 3: Vamos também zerar o elemento da quarta linha, primeira coluna. Substituímos a quarta linha pela quarta linha menos a primeira linha:
R4 = R4 - R1
A matriz fica:
1 & 3 & 0 & 2 0 & 1 & 7 & 8 0 & -4 & 2 & -5 0 & -4 & 2 & -5

Passo 6

Operação 4: Agora, vamos focar na segunda coluna. Vamos zerar os elementos abaixo do pivô (que é 1 na segunda linha, segunda coluna). Primeiro, vamos zerar o elemento da terceira linha, segunda coluna:
R3 = R3 + 4R2
E também o elemento da quarta linha, segunda coluna:
R4 = R4 + 4R2
Após essas operações, a matriz fica:
1 & 3 & 0 & 2 0 & 1 & 7 & 8 0 & 0 & 30 & 27 0 & 0 & 30 & 27

Passo 7

Operação 5: Finalmente, vamos zerar o elemento da quarta linha, terceira coluna. Substituímos a quarta linha pela quarta linha menos a terceira linha:
R4 = R4 - R3
A matriz escalonada fica:
1 & 3 & 0 & 2 0 & 1 & 7 & 8 0 & 0 & 30 & 27 0 & 0 & 0 & 0

Passo 8

Agora que a matriz está escalonada, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal multiplicado pelo fator de escala que foi aplicado durante as operações. Observando a matriz, temos:
Determinante = 1 times 1 times 30 times 0 = 0

Resposta

O determinante da matriz é 0.

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