Obtenha uma equação geral do plano pi, que contém o eixo dos x e é perpendicular à reta
r:l x=0 y=1+2 t z=1+t N1(0,2,1)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação geral de um plano, chamado π, que contém o eixo dos x e é perpendicular à reta . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica, como equação de planos e perpendicularidade entre planos e retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que significa o plano conter o eixo dos x. O eixo dos x é formado por todos os pontos onde e , ou seja, a linha . Isso nos dá uma pista sobre como será a equação do plano.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa o plano ser perpendicular à reta x = 0 y = 1 + 2t z = 1 + t . A reta está descrita pelas equações paramétricas:
O vetor diretor da reta é . Quando um plano é perpendicular a uma reta, o vetor normal do plano é paralelo ao vetor diretor da reta.

Passo 4

Com isso, sabemos que o vetor normal ax + by + cz + d = 0 do plano é . A equação geral de um plano é dada por:
onde são as componentes do vetor normal.

Passo 5

Substituindo os valores do vetor normal na equação do plano, temos:
0x + 2y + 1z + d = 0
Simplificando, fica:
2y + z + d = 0

Passo 6

Agora, precisamos determinar o valor de 2(0) + 0 + d = 0 Rightarrow d = 0 . Como o plano contém o eixo dos x, podemos escolher um ponto no eixo dos x para substituir na equação. Um ponto no eixo dos x é .
Substituindo na equação:

Passo 7

Com 2y + z = 0 , a equação geral do plano fica:

Resposta

A equação geral do plano 2y + z = 0 é:

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