Encontre a inversa das seguintes matrizes:
A=[ccc1 & 0 & -2 -3 & 1 & 4 2 & -3 & 4]

Passo 1

Beleza, temos que encontrar a inversa da matriz 1 & 0 & -2 -3 & 1 & 4 2 & -3 & 4 . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, mais especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o determinante da matriz e a matriz adjunta, além de aplicar a fórmula da matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é invertível. Uma matriz só tem inversa se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de A = a & b & c d & e & f g & h & i = 1 & 0 & -2 -3 & 1 & 4 2 & -3 & 4 .
A fórmula do determinante para uma matriz 3x3 é:
det(A) = 1(1 cdot 4 - 4 cdot (-3)) - 0(-3 cdot 4 - 4 cdot 2) + (-2)(-3 cdot (-3) - 1 cdot 2)
Onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz det(A) = 1(4 + 12) - 0(-12 - 8) + (-2)(9 - 2) :
det(A) = 16 - 0 + (-2)(7)
Vamos calcular:
det(A) = 16 - 14 = 2
Como o determinante é 2 (diferente de zero), a matriz é invertível.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores. Primeiro, vamos encontrar os cofatores de cada elemento de 1 & 4 -3 & 4 .
Os cofatores são calculados assim:
-3 & 4 2 & 4
Onde -3 & 1 2 & -3 é o menor da matriz, isto é, o determinante da matriz que sobra ao remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Vamos calcular cada cofator:
  • 0 & -2 -3 & 4
  • 1 & -2 2 & 4
  • 1 & 0 2 & -3
  • 0 & -2 1 & 4
  • 1 & -2 -3 & 4
  • 1 & 0 -3 & 1
  • Cof(A) = 16 & 20 & 7 6 & 8 & 3 2 & 2 & 1
  • Adj(A) = 16 & 6 & 2 20 & 8 & 2 7 & 3 & 1
Agora, montamos a matriz de cofatores:
Em seguida, a matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores:

Passo 4

Agora, usamos a fórmula da matriz inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A)
Já calculamos que 16 & 6 & 2 20 & 8 & 2 7 & 3 & 1 e A^-1 = 12 cdot 16 & 6 & 2 20 & 8 & 2 7 & 3 & 1 = 8 & 3 & 1 10 & 4 & 1 3.5 & 1.5 & 0.5 . Então:

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 8 & 3 & 1 10 & 4 & 1 3.5 & 1.5 & 0.5 é:

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