Calcule os determinantes escalonando a matriz:

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular o determinante dessa matriz quadrada de 4x4:
O determinante é uma ferramenta importante na matemática para entender propriedades da matriz, como se ela é invertível. Para calcular, vamos escalar a matriz, ou seja, usar operações de linha para simplificá-la até ficar em formato triangular, onde fica mais fácil multiplicar os elementos da diagonal principal e obter o determinante. Vamos precisar usar operações elementares de linha, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e somar múltiplos de uma linha com outra.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar na primeira coluna para deixar os outros elementos abaixo do primeiro 1 iguais a zero. Já temos um 1 na primeira posição, então vamos usar ele para eliminar os -1 e o 3 das outras linhas.
  • Linha 3 (L3): Vamos somar a Linha 1 (L1) com a Linha 3 para eliminar o -1.
  • Linha 4 (L4): Vamos subtrair 3 vezes a Linha 1 da Linha 4 para eliminar o 3.
Agora, a matriz fica:

Passo 3

Agora, vamos focar na segunda coluna. Já tem um 1 na segunda posição da segunda linha, vamos usar ele para eliminar os 1 e o 2 das demais linhas abaixo.
  • Linha 3 (L3): Vamos subtrair a Linha 2 da Linha 3 para eliminar o 1.
  • Linha 4 (L4): Vamos subtrair 2 vezes a Linha 2 da Linha 4 para eliminar o 2.
Agora, a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos olhar para a terceira coluna. Temos um -3 na quarta linha, vamos usá-lo para simplificar.
Primeiro, vamos trocar a Linha 3 com a Linha 4 para trazer o -3 para a terceira linha.
Agora, a matriz está em forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros.

Passo 5

Para encontrar o determinante, basta multiplicar os elementos da diagonal principal:

Resposta

O determinante da matriz dada é .

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