Calcule os determinantes escalonando a matriz:
|cccc1 & -1 & -3 & 0 0 & 1 & 5 & 4 -1 & 2 & 8 & 5 3 & -1 & -2 & 3|

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular o determinante dessa matriz quadrada de 4x4:
1 & -1 & -3 & 0 0 & 1 & 5 & 4 -1 & 2 & 8 & 5 3 & -1 & -2 & 3
O determinante é uma ferramenta importante na matemática para entender propriedades da matriz, como se ela é invertível. Para calcular, vamos escalar a matriz, ou seja, usar operações de linha para simplificá-la até ficar em formato triangular, onde fica mais fácil multiplicar os elementos da diagonal principal e obter o determinante. Vamos precisar usar operações elementares de linha, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e somar múltiplos de uma linha com outra.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar na primeira coluna para deixar os outros elementos abaixo do primeiro 1 iguais a zero. Já temos um 1 na primeira posição, então vamos usar ele para eliminar os -1 e o 3 das outras linhas.
  • Linha 3 (L3): Vamos somar a Linha 1 (L1) com a Linha 3 para eliminar o -1.
    L3 = L3 + L1 Rightarrow (-1+1, 2+(-1), 8+(-3), 5+0) = (0, 1, 5, 5)
  • Linha 4 (L4): Vamos subtrair 3 vezes a Linha 1 da Linha 4 para eliminar o 3.
    L4 = L4 - 3 times L1 Rightarrow (3-3cdot1, -1-3cdot(-1), -2-3cdot(-3), 3-3cdot0) = (0, 2, 7, 3)
Agora, a matriz fica:
1 & -1 & -3 & 0 0 & 1 & 5 & 4 0 & 1 & 5 & 5 0 & 2 & 7 & 3

Passo 3

Agora, vamos focar na segunda coluna. Já tem um 1 na segunda posição da segunda linha, vamos usar ele para eliminar os 1 e o 2 das demais linhas abaixo.
  • Linha 3 (L3): Vamos subtrair a Linha 2 da Linha 3 para eliminar o 1.
    L3 = L3 - L2 Rightarrow (0-0, 1-1, 5-5, 5-4) = (0, 0, 0, 1)
  • Linha 4 (L4): Vamos subtrair 2 vezes a Linha 2 da Linha 4 para eliminar o 2.
    L4 = L4 - 2 times L2 Rightarrow (0-0, 2-2cdot1, 7-2cdot5, 3-2cdot4) = (0, 0, -3, -5)
Agora, a matriz fica:
1 & -1 & -3 & 0 0 & 1 & 5 & 4 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & -3 & -5

Passo 4

Agora, vamos olhar para a terceira coluna. Temos um -3 na quarta linha, vamos usá-lo para simplificar.
Primeiro, vamos trocar a Linha 3 com a Linha 4 para trazer o -3 para a terceira linha.
1 & -1 & -3 & 0 0 & 1 & 5 & 4 0 & 0 & -3 & -5 0 & 0 & 0 & 1
Agora, a matriz está em forma triangular superior, onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros.

Passo 5

Para encontrar o determinante, basta multiplicar os elementos da diagonal principal:
1 times 1 times (-3) times 1 = -3

Resposta

O determinante da matriz dada é .

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