Sobre o modelo de crescimento de dois setores com capital humano, apresentado por Lucas (1988), responda:
Mostre que o capital físico per capita (k), o capital humano per capita (h), o consumo per capita © e o produto per capita apresentam a mesma taxa de crescimento no estado estacionário.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre o modelo de crescimento de dois setores com capital humano, desenvolvido por Lucas em 1988. A questão pede para mostrar que, no estado estacionário, o capital físico per capita (k), o capital humano per capita (h), o consumo per capita © e o produto per capita (y) crescem à mesma taxa. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses elementos interagem no modelo de Lucas e utilizar algumas equações básicas de crescimento econômico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no modelo de Lucas, a economia é dividida em dois setores: capital físico e capital humano. O capital físico (k) é relacionado com máquinas e infraestrutura, enquanto o capital humano (h) se refere ao conhecimento e habilidades da força de trabalho.

Passo 3

No estado estacionário, todas as variáveis importantes da economia crescem a uma taxa constante. Isso significa que, para cada uma das variáveis per capita que queremos analisar (k, h, c, y), a sua taxa de crescimento deve ser igual.

Passo 4

Vamos considerar que a taxa de crescimento da população é . No estado estacionário, a taxa de crescimento do capital físico per capita é dada por:
onde é a taxa de poupança em capital físico, é a função de produção, e é a taxa de depreciação do capital físico.

Passo 5

De forma semelhante, a taxa de crescimento do capital humano per capita é:
onde é a taxa de investimento em capital humano e é a função de acumulação do capital humano.

Passo 6

No estado estacionário, as taxas de crescimento de e são iguais, ou seja:
Isso implica que as taxas de crescimento do consumo per capita e do produto per capita também estarão ligadas a essa mesma taxa.

Passo 7

A função de produção per capita geralmente depende de e . Portanto, se e crescem à mesma taxa, também crescerá a essa taxa, já que está diretamente relacionado a eles.

Passo 8

O consumo per capita é uma parte do produto per capita que não é investida. Se cresce a uma determinada taxa e a proporção investida permanece constante no estado estacionário, então também crescerá à mesma taxa que .

Resposta

No estado estacionário do modelo de crescimento de dois setores com capital humano de Lucas (1988), as taxas de crescimento do capital físico per capita (k), capital humano per capita (h), consumo per capita © e produto per capita (y) são todas iguais.

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Calcule os determinantes através da expansão em cofatores:
Determine o valor de que torna os vetores linearmente dependentes.
Calcule os determinantes escalonando a matriz:
Sobre o modelo de crescimento de dois setores com capital humano, apresentado por Lucas (1988), responda:
Apresente o Hamiltoniano e as condições de primeira ordem para esse problema dinâmico.