Verifique se o conjunto de vetores (1,1,1),(1,2,3),(2,-1,1) é linearmente independente e escreva, se possível, o vetor (1,-2,5) como combinação linear dos vetores do conjunto.

Passo 1

Então, a gente tem três vetores: , e . A primeira parte da pergunta quer saber se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, não tem como escrever um deles como combinação dos outros. A segunda parte pede para ver se dá pra escrever o vetor como uma combinação desses três vetores. Pra resolver isso, vamos precisar usar sistemas lineares e determinantes para verificar a independência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Pra isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
1 & 1 & 2 1 & 2 & -1 1 & 3 & 1

Passo 3

Aí a gente calcula o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Det = 1 cdot (2 cdot 1 - (-1) cdot 3) - 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 1) + 2 cdot (1 cdot 3 - 2 cdot 1)
Det = 1 cdot (2 + 3) - 1 cdot (1 + 1) + 2 cdot (3 - 2)
Det = 5 - 2 + 2 = 5

Passo 4

Como o determinante é , os vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 5

Agora, vamos tentar escrever o vetor a cdot (1,1,1) + b cdot (1,2,3) + c cdot (2,-1,1) = (1,-2,5) como combinação linear dos vetores do conjunto. Ou seja, queremos encontrar escalares a + b + 2c = 1 a + 2b - c = -2 a + 3b + c = 5 , e tais que:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, da primeira equação:
a = 1 - b - 2c
Substituindo 1 - b - 2c + 2b - c = -2 implies b - 3c = -3 implies b = 3c -3 nas outras equações:
1 - b - 2c + 3b + c = 5 implies 2b - c = 4
E na terceira equação:
2(3c -3) - c = 4 implies 6c -6 -c = 4 implies 5c = 10 implies c = 2
Substituindo :
Agora, e .

Resposta

Os vetores (1,-2,5) = -6 cdot (1,1,1) + 3 cdot (1,2,3) + 2 cdot (2,-1,1) são linearmente independentes. Além disso, o vetor pode ser escrito como combinação linear deles da seguinte forma:

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