Verifique se o conjunto de vetores é linearmente independente e escreva, se possível, o vetor como combinação linear dos vetores do conjunto.
Passo 1
Então, a gente tem três vetores: , e . A primeira parte da pergunta quer saber se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, não tem como escrever um deles como combinação dos outros. A segunda parte pede para ver se dá pra escrever o vetor como uma combinação desses três vetores. Pra resolver isso, vamos precisar usar sistemas lineares e determinantes para verificar a independência.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Pra isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
Passo 3
Aí a gente calcula o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Como o determinante é , os vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 5
Agora, vamos tentar escrever o vetor como combinação linear dos vetores do conjunto. Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, da primeira equação:
Substituindo nas outras equações:
E na terceira equação:
Substituindo :
Agora, e .
Resposta
Os vetores são linearmente independentes. Além disso, o vetor pode ser escrito como combinação linear deles da seguinte forma: