Verifique se o conjunto de vetores é linearmente independente e escreva, se possível, o vetor como combinação linear dos vetores do conjunto.
Passo 1
Então, a gente tem três vetores: , e . A primeira parte da pergunta quer saber se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, não tem como escrever um deles como combinação dos outros. A segunda parte pede para ver se dá pra escrever o vetor como uma combinação desses três vetores. Pra resolver isso, vamos precisar usar sistemas lineares e determinantes para verificar a independência.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Pra isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
Passo 3
Aí a gente calcula o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Como o determinante é , os vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 5
Agora, vamos tentar escrever o vetor a cdot (1,1,1) + b cdot (1,2,3) + c cdot (2,-1,1) = (1,-2,5) como combinação linear dos vetores do conjunto. Ou seja, queremos encontrar escalares a + b + 2c = 1 a + 2b - c = -2 a + 3b + c = 5 , e tais que:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, da primeira equação:
a = 1 - b - 2c
Substituindo 1 - b - 2c + 2b - c = -2 implies b - 3c = -3 implies b = 3c -3 nas outras equações:
1 - b - 2c + 3b + c = 5 implies 2b - c = 4
E na terceira equação:
2(3c -3) - c = 4 implies 6c -6 -c = 4 implies 5c = 10 implies c = 2
Substituindo :
Agora, e .
Resposta
Os vetores (1,-2,5) = -6 cdot (1,1,1) + 3 cdot (1,2,3) + 2 cdot (2,-1,1) são linearmente independentes. Além disso, o vetor pode ser escrito como combinação linear deles da seguinte forma: