Verifique se o conjunto de vetores é linearmente independente e escreva, se possível, o vetor como combinação linear dos vetores do conjunto.

Passo 1

Então, a gente tem três vetores: , e . A primeira parte da pergunta quer saber se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, não tem como escrever um deles como combinação dos outros. A segunda parte pede para ver se dá pra escrever o vetor como uma combinação desses três vetores. Pra resolver isso, vamos precisar usar sistemas lineares e determinantes para verificar a independência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Pra isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:

Passo 3

Aí a gente calcula o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Como o determinante é , os vetores são linearmente independentes. Isso significa que nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 5

Agora, vamos tentar escrever o vetor como combinação linear dos vetores do conjunto. Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, da primeira equação:
Substituindo nas outras equações:
E na terceira equação:
Substituindo :
Agora, e .

Resposta

Os vetores são linearmente independentes. Além disso, o vetor pode ser escrito como combinação linear deles da seguinte forma:

Exercícios relacionados

Sobre o modelo de crescimento de dois setores com capital humano, apresentado por Lucas (1988), responda:
Apresente o Hamiltoniano e as condições de primeira ordem para esse problema dinâmico.
Calcule os determinantes escalonando a matriz:
Em cada parte use a informaçăo dada para encontrar .
(b)
Determinar uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano que contém as retas

e .