Sobre o modelo de crescimento de dois setores com capital humano, apresentado por Lucas (1988), responda:
Apresente o Hamiltoniano e as condições de primeira ordem para esse problema dinâmico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente apresentar o Hamiltoniano e as condições de primeira ordem para o modelo de crescimento de dois setores com capital humano, que o Lucas apresentou em 1988. Esse modelo faz parte da macroeconomia e é usado para entender como o capital humano (como educação e habilidades dos trabalhadores) influencia o crescimento econômico. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de otimização dinâmica, especificamente o método do Hamiltoniano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Hamiltoniano. Em problemas de otimização dinâmica, o Hamiltoniano é uma função que combina a função objetivo que queremos maximizar (ou minimizar) com as restrições do sistema, usando multiplicadores de Lagrange chamados de coestados. Ele nos ajuda a encontrar as condições necessárias para que a solução seja ótima ao longo do tempo.

Passo 3

No contexto do modelo de Lucas, nossa função objetivo pode ser o bem-estar social, que geralmente é representado por uma função de utilidade intertemporal, como a soma descontada das utilidades ao longo do tempo. As restrições incluem a acumulação de capital físico e capital humano. Vamos definir as variáveis:
  • : Consumo no tempo
  • : Capital físico no tempo
  • : Capital humano no tempo
  • : Taxa de depreciação do capital físico
  • : Taxa de depreciação do capital humano
  • : Taxa de poupança para capital físico
  • : Taxa de poupança para capital humano

Passo 4

O Hamiltoniano H = U(C(t)) + lambda(t) [ sY(t) - de será então formado pela função utilidade menos os multiplicadores multiplicando as equações que descrevem a evolução do capital físico e humano. Assim:
Aqui, e são os multiplicadores de Lagrange associados ao capital físico e humano, respectivamente, e representa a produção total no tempo .

Passo 5

Agora, para encontrar as condições de primeira ordem, derivamos o Hamiltoniano em relação às variáveis de controle (como partial Hpartial C(t) = U'(C(t)) - lambda(t) cdot partial Y(t)partial C(t) - mu(t) cdot partial Y(t)partial C(t) = 0 ) e às variáveis de estado ( dlambda(t)dt = rho lambda(t) - partial Hpartial K(t) e dmu(t)dt = rho mu(t) - partial Hpartial H(t) ), além das condições de coestado. As principais condições de primeira ordem são:
  1. Maximização do Hamiltoniano em relação ao controle :
  1. Equações de coestado:
Onde é a taxa de desconto intertemporal.

Passo 6

Resumindo, temos o Hamiltoniano que reúne a função de utilidade e as restrições de capital, e as condições de primeira ordem que nos dizem como equilibrar o consumo e a acumulação de capital físico e humano ao longo do tempo para maximizar o bem-estar.

Resposta

O Hamiltoniano para o modelo de crescimento de dois setores com capital humano de Lucas (1988) é dado por:
H = U(C(t)) + lambda(t) [ sY(t) - de
As condições de primeira ordem são:

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