Sobre o modelo de crescimento de dois setores com capital humano, apresentado por Lucas (1988), responda:
Apresente o Hamiltoniano e as condições de primeira ordem para esse problema dinâmico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente apresentar o Hamiltoniano e as condições de primeira ordem para o modelo de crescimento de dois setores com capital humano, que o Lucas apresentou em 1988. Esse modelo faz parte da macroeconomia e é usado para entender como o capital humano (como educação e habilidades dos trabalhadores) influencia o crescimento econômico. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de otimização dinâmica, especificamente o método do Hamiltoniano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Hamiltoniano. Em problemas de otimização dinâmica, o Hamiltoniano é uma função que combina a função objetivo que queremos maximizar (ou minimizar) com as restrições do sistema, usando multiplicadores de Lagrange chamados de coestados. Ele nos ajuda a encontrar as condições necessárias para que a solução seja ótima ao longo do tempo.
Passo 3
No contexto do modelo de Lucas, nossa função objetivo pode ser o bem-estar social, que geralmente é representado por uma função de utilidade intertemporal, como a soma descontada das utilidades ao longo do tempo. As restrições incluem a acumulação de capital físico e capital humano. Vamos definir as variáveis:
: Consumo no tempo
: Capital físico no tempo
: Capital humano no tempo
: Taxa de depreciação do capital físico
: Taxa de depreciação do capital humano
: Taxa de poupança para capital físico
: Taxa de poupança para capital humano
Passo 4
O Hamiltoniano será então formado pela função utilidade menos os multiplicadores multiplicando as equações que descrevem a evolução do capital físico e humano. Assim:
Aqui, e são os multiplicadores de Lagrange associados ao capital físico e humano, respectivamente, e representa a produção total no tempo .
Passo 5
Agora, para encontrar as condições de primeira ordem, derivamos o Hamiltoniano em relação às variáveis de controle (como ) e às variáveis de estado ( e ), além das condições de coestado. As principais condições de primeira ordem são:
Maximização do Hamiltoniano em relação ao controle :
Equações de coestado:
Onde é a taxa de desconto intertemporal.
Passo 6
Resumindo, temos o Hamiltoniano que reúne a função de utilidade e as restrições de capital, e as condições de primeira ordem que nos dizem como equilibrar o consumo e a acumulação de capital físico e humano ao longo do tempo para maximizar o bem-estar.
Resposta
O Hamiltoniano para o modelo de crescimento de dois setores com capital humano de Lucas (1988) é dado por: