Calcule os determinantes dos Exercícios de 9 a 14 pela expansão em cofatores. Em cada passo, escolha uma linha ou coluna que envolva a menor quantidade de cálculos.
|rrrr4 & 0 & 0 & 0 7 & -1 & 0 & 0 2 & 6 & 3 & 0 5 & -8 & 4 & -3|

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante dessa matriz 4x4 que você me mandou usando a expansão por cofatores. Esse método envolve quebrar a matriz em partes menores (determinantes de matrizes menores) para facilitar o cálculo. A ideia é escolher uma linha ou coluna com mais zeros, porque isso reduz a quantidade de contas que precisamos fazer. Vamos usar essa estratégia para deixar tudo mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz:
4 & 0 & 0 & 0 7 & -1 & 0 & 0 2 & 6 & 3 & 0 5 & -8 & 4 & -3
A melhor escolha aqui é a primeira coluna, porque ela tem três zeros, o que vai facilitar nossa vida na hora de calcular os cofatores.

Passo 3

A fórmula para o determinante usando expansão por cofatores na primeira coluna é:
det(A) = a11C11 + a21C21 + a31C31 + a41C41
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Vamos calcular cada termo da expansão:
  1. Para C11 = (-1)^1+1 cdot det -1 & 0 & 0 6 & 3 & 0 -8 & 4 & -3 = 1 cdot det -1 & 0 & 0 6 & 3 & 0 -8 & 4 & -3 :
det = 0 cdot C13 + 0 cdot C23 + (-3) cdot C33 = -3 cdot det -1 & 0 6 & 3 = -3 cdot [(-1)(3) - (0)(6)] = -3 cdot (-3) = 9
Como há uma coluna com dois zeros, vamos expandir pelo terceiro coluna dessa submatriz para facilitar:
C21 = (-1)^2+1 cdot det 0 & 0 & 0 6 & 3 & 0 -8 & 4 & -3 = -1 cdot det 0 & 0 & 0 6 & 3 & 0 -8 & 4 & -3
Então, C31 = (-1)^3+1 cdot det 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 -8 & 4 & -3 = 1 cdot det 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 -8 & 4 & -3 e o termo correspondente é C41 = (-1)^4+1 cdot det 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 6 & 3 & 0 = -1 cdot det 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 6 & 3 & 0 .
  1. Para :
Essa submatriz tem uma linha inteira de zeros, então o determinante dela é zero. Portanto, e o termo é .
  1. Para :
Novamente, essa submatriz também tem uma linha inteira de zeros, então o determinante é zero. Assim, e o termo é .
  1. Para :
Mais uma vez, essa submatriz tem uma linha inteira de zeros, resultando em determinante zero. Então, e o termo é .

Resposta

Somando todos os termos calculados:
det(A) = 36 + 0 + 0 + 0 = 36
Então, o determinante da matriz é 36.

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