Calcule os determinantes dos Exercícios de 9 a 14 pela expansão em cofatores. Em cada passo, escolha uma linha ou coluna que envolva a menor quantidade de cálculos.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o determinante dessa matriz 4x4 que você me mandou usando a expansão por cofatores. Esse método envolve quebrar a matriz em partes menores (determinantes de matrizes menores) para facilitar o cálculo. A ideia é escolher uma linha ou coluna com mais zeros, porque isso reduz a quantidade de contas que precisamos fazer. Vamos usar essa estratégia para deixar tudo mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a matriz:
A melhor escolha aqui é a primeira coluna, porque ela tem três zeros, o que vai facilitar nossa vida na hora de calcular os cofatores.
Passo 3
A fórmula para o determinante usando expansão por cofatores na primeira coluna é:
Onde
são os elementos da matriz e
são os cofatores correspondentes.
Passo 4
Vamos calcular cada termo da expansão:
- Para
:C11 = (-1)^1+1 cdot det -1 & 0 & 0 6 & 3 & 0 -8 & 4 & -3 = 1 cdot det -1 & 0 & 0 6 & 3 & 0 -8 & 4 & -3
Como há uma coluna com dois zeros, vamos expandir pelo terceiro coluna dessa submatriz para facilitar:
Então,
C31 = (-1)^3+1 cdot det 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 -8 & 4 & -3 = 1 cdot det 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 -8 & 4 & -3 e o termo correspondente é
C41 = (-1)^4+1 cdot det 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 6 & 3 & 0 = -1 cdot det 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 6 & 3 & 0 .
- Para
:
Essa submatriz tem uma linha inteira de zeros, então o determinante dela é zero. Portanto,
e o termo é
.
- Para
:
Novamente, essa submatriz também tem uma linha inteira de zeros, então o determinante é zero. Assim,
e o termo é
.
- Para
:
Mais uma vez, essa submatriz tem uma linha inteira de zeros, resultando em determinante zero. Então,
e o termo é
.
Resposta
Somando todos os termos calculados:
Então, o determinante da matriz é 36.
Exercícios relacionados
Verifique se
R^2 com as operações abaixo é um
R -espaço vetorial:
para quaisquer
a, x1, y1, x2, y2 in R .
Coloque V para as assertivas verdadeiras e F para as falsas. Justifique-as.
c) ( ) O conjuntoA=p1, p2, p3 , onde
p1(t)=t^2-2 t+1, p2(t)=t+2 e
p3(t)=2 t^2-t é LI.
c) ( ) O conjunto
Calcule os determinantes dos Exercícios de 9 a 14 pela expansão em cofatores. Em cada passo, escolha uma linha ou coluna que envolva a menor quantidade de cálculos.
|rrrr3 & 5 & -8 & 4 0 & -2 & 3 & -7 0 & 0 & 1 & 5 0 & 0 & 0 & 2|
Quais das matrizes abaixo são escalonadas reduzidas?
(a)[rrrr1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 1 & -6]
(b)[rrrr1 & 0 & 0 & 6 0 & 1 & -2 & 4 0 & 0 & 0 & 0]
©[rrrr1 & 0 & 1 & 5 0 & 1 & 4 & -1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0]
(d)[rrrr1 & 3 & 0 & 1 0 & 1 & -2 & 6]
(a)
(b)
©
(d)