Verifique se
com as operações abaixo é um
-espaço vetorial:
para quaisquer
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto
, com as operações de adição e multiplicação por escalar dadas, forma um espaço vetorial sobre os números reais
. Para isso, vamos precisar entender os axiomas de um espaço vetorial e ver se essas operações os cumprem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são as operações definidas:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Isso já é diferente da adição usual em
, então precisamos ficar atentos aos axiomas que serão verificados.
Passo 3
Vamos lembrar os axiomas de um espaço vetorial que precisamos verificar:
- Fechamento em relação à adição: A soma de dois vetores está no espaço.
- Comutatividade da adição:
. - Associatividade da adição:
. - Existência do elemento neutro: Existe um vetor zero tal que
. - Existência do inverso aditivo: Para todo vetor
, existe tal que . - Fechamento em relação à multiplicação por escalar: O produto de um escalar e um vetor está no espaço.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
. - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
. - Compatibilidade da multiplicação por escalares:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
.
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.
Passo 4
1. Fechamento em relação à adição
Para quaisquer
e
em
,
O resultado é sempre um par de números reais, então a adição está fechada em
.
2. Comutatividade da adição
Vamos verificar se
.
Calculando:
Para que seja comutativo, precisamos que
. Porém, isso não é necessariamente verdadeiro para todos os vetores, a menos que
e
. Portanto, a adição não é comutativa nesse caso.
Passo 5
Como a comutatividade da adição não está satisfeita, já podemos concluir que
com essas operações não forma um espaço vetorial sobre
. Mas, para completar, vamos verificar mais alguns axiomas.
4. Existência do elemento neutro
O vetor zero deve satisfazer
. Vamos ver:
Para ser igual a
, precisaríamos que
e
. Isso só ocorre se
, ou seja, o único vetor que funciona como zero é
. Portanto, não há um único vetor zero válido para todo
.
Passo 6
5. Existência do inverso aditivo
Mesmo que tentássemos encontrar um inverso para um vetor
, teríamos:
Para obter o zero, precisaríamos que
e
. Isso implica que
e
. Porém, como não temos um vetor zero consistente, não há garantia de inverso para todos os vetores.
Passo 7
Conclusão
Já identificamos que a comutatividade não é satisfeita e que não existe um elemento neutro único para a adição. Esses são axiomas fundamentais para um espaço vetorial. Portanto, não precisamos verificar os demais axiomas, pois com a falha de alguns, a estrutura não é um espaço vetorial.
Resposta
Não,
com as operações dadas não é um
-espaço vetorial.