Verifique se R^2 com as operações abaixo é um R-espaço vetorial:
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+y1, 0) a(x1, y1)=(a x1, a y1)
para quaisquer a, x1, y1, x2, y2 in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto R^2, com as operações de adição e multiplicação por escalar dadas, forma um espaço vetorial sobre os números reais R. Para isso, vamos precisar entender os axiomas de um espaço vetorial e ver se essas operações os cumprem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as operações definidas:
  • Adição: (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+y1, 0)
  • Multiplicação por escalar: a(x1, y1)=(a x1, a y1)
Isso já é diferente da adição usual em R^2, então precisamos ficar atentos aos axiomas que serão verificados.

Passo 3

Vamos lembrar os axiomas de um espaço vetorial que precisamos verificar:
  1. Fechamento em relação à adição: A soma de dois vetores está no espaço.
  2. Comutatividade da adição: u + v = v + u.
  3. Associatividade da adição: (u + v) + w = u + (v + w).
  4. Existência do elemento neutro: Existe um vetor zero tal que v + 0 = v.
  5. Existência do inverso aditivo: Para todo vetor v, existe -v tal que v + (-v) = 0.
  6. Fechamento em relação à multiplicação por escalar: O produto de um escalar e um vetor está no espaço.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: a(u + v) = a u + a v.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: (a + b)u = a u + b u.
  9. Compatibilidade da multiplicação por escalares: a(b u) = (a b)u.
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1 u = u.
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.

Passo 4

1. Fechamento em relação à adição
Para quaisquer (x1, y1) e (x2, y2) em R^2,
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + y1, 0)
O resultado é sempre um par de números reais, então a adição está fechada em R^2.
2. Comutatividade da adição
Vamos verificar se (x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) + (x1, y1).
Calculando:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + y1, 0)
(x2, y2) + (x1, y1) = (x2 + y2, 0)
Para que seja comutativo, precisamos que x1 + y1 = x2 + y2. Porém, isso não é necessariamente verdadeiro para todos os vetores, a menos que x1 = x2 e y1 = y2. Portanto, a adição não é comutativa nesse caso.

Passo 5

Como a comutatividade da adição não está satisfeita, já podemos concluir que R^2 com essas operações não forma um espaço vetorial sobre R. Mas, para completar, vamos verificar mais alguns axiomas.
4. Existência do elemento neutro
O vetor zero deve satisfazer (x, y) + (0, 0) = (x, y). Vamos ver:
(x, y) + (0, 0) = (x + y, 0)
Para ser igual a (x, y), precisaríamos que x + y = x e 0 = y. Isso só ocorre se y = 0, ou seja, o único vetor que funciona como zero é (x, 0). Portanto, não há um único vetor zero válido para todo R^2.

Passo 6

5. Existência do inverso aditivo
Mesmo que tentássemos encontrar um inverso para um vetor (x, y), teríamos:
(x, y) + (a, b) = (x + y, 0)
Para obter o zero, precisaríamos que x + y = 0 e 0 = b. Isso implica que a = -y e b = 0. Porém, como não temos um vetor zero consistente, não há garantia de inverso para todos os vetores.

Passo 7

Conclusão
Já identificamos que a comutatividade não é satisfeita e que não existe um elemento neutro único para a adição. Esses são axiomas fundamentais para um espaço vetorial. Portanto, não precisamos verificar os demais axiomas, pois com a falha de alguns, a estrutura não é um espaço vetorial.

Resposta

Não, R^2 com as operações dadas não é um R-espaço vetorial.

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|rrrr3 & 5 & -8 & 4 0 & -2 & 3 & -7 0 & 0 & 1 & 5 0 & 0 & 0 & 2|