Verifique se com as operações abaixo é um -espaço vetorial:
para quaisquer .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto , com as operações de adição e multiplicação por escalar dadas, forma um espaço vetorial sobre os números reais . Para isso, vamos precisar entender os axiomas de um espaço vetorial e ver se essas operações os cumprem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são as operações definidas:
Adição:
Multiplicação por escalar:
Isso já é diferente da adição usual em , então precisamos ficar atentos aos axiomas que serão verificados.
Passo 3
Vamos lembrar os axiomas de um espaço vetorial que precisamos verificar:
Fechamento em relação à adição: A soma de dois vetores está no espaço.
Comutatividade da adição: .
Associatividade da adição: .
Existência do elemento neutro: Existe um vetor zero tal que .
Existência do inverso aditivo: Para todo vetor , existe tal que .
Fechamento em relação à multiplicação por escalar: O produto de um escalar e um vetor está no espaço.
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: .
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: .
Compatibilidade da multiplicação por escalares: .
Elemento neutro da multiplicação por escalar: .
Vamos verificar cada um desses axiomas com as operações dadas.
Passo 4
1. Fechamento em relação à adição
Para quaisquer e em ,
O resultado é sempre um par de números reais, então a adição está fechada em .
2. Comutatividade da adição
Vamos verificar se .
Calculando:
Para que seja comutativo, precisamos que . Porém, isso não é necessariamente verdadeiro para todos os vetores, a menos que e . Portanto, a adição não é comutativa nesse caso.
Passo 5
Como a comutatividade da adição não está satisfeita, já podemos concluir que com essas operações não forma um espaço vetorial sobre . Mas, para completar, vamos verificar mais alguns axiomas.
4. Existência do elemento neutro
O vetor zero deve satisfazer . Vamos ver:
Para ser igual a , precisaríamos que e . Isso só ocorre se , ou seja, o único vetor que funciona como zero é . Portanto, não há um único vetor zero válido para todo .
Passo 6
5. Existência do inverso aditivo
Mesmo que tentássemos encontrar um inverso para um vetor , teríamos:
Para obter o zero, precisaríamos que e . Isso implica que e . Porém, como não temos um vetor zero consistente, não há garantia de inverso para todos os vetores.
Passo 7
Conclusão
Já identificamos que a comutatividade não é satisfeita e que não existe um elemento neutro único para a adição. Esses são axiomas fundamentais para um espaço vetorial. Portanto, não precisamos verificar os demais axiomas, pois com a falha de alguns, a estrutura não é um espaço vetorial.
Resposta
Não, com as operações dadas não é um -espaço vetorial.