Coloque V para as assertivas verdadeiras e F para as falsas. Justifique-as.
c) ( ) O conjunto A=p1, p2, p3, onde p1(t)=t^2-2 t+1, p2(t)=t+2 e p3(t)=2 t^2-t é LI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto , onde:
é linearmente independente (LI). Para isso, vamos precisar entender o que significa ser linearmente independente e como verificar isso usando as funções dadas.

Passo 2

Primeiro, o que é linearmente independente? Um conjunto de funções (ou vetores) é dito ser linearmente independente se nenhuma função do conjunto pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Ou seja, não tem como expressar uma função como múltiplo ou soma das outras.

Passo 3

Agora, vamos verificar se c1 p1(t) + c2 p2(t) + c3 p3(t) = 0 é linearmente independente. Para isso, montamos uma combinação linear igual a zero:
c1 (t^2 - 2t + 1) + c2 (t + 2) + c3 (2t^2 - t) = 0
Substituindo as funções:

Passo 4

Vamos expandir a expressão:
c1 t^2 - 2c1 t + c1 + c2 t + 2c2 + 2c3 t^2 - c3 t = 0
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
(c1 + 2c3) t^2 + (-2c1 + c2 - c3) t + (c1 + 2c2) = 0

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo c1 + 2c3 = 0 -2c1 + c2 - c3 = 0 c1 + 2c2 = 0 , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos o sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação: -2c3 + 2c2 = 0 Rightarrow c2 = c3
  2. Substituindo -2(-2c3) + c3 - c3 = 4c3 + 0 = 0 Rightarrow c3 = 0 na terceira equação:
  3. Substituindo e na segunda equação:
  4. Se , então e

Passo 7

Encontramos que a única solução é . Isso significa que não existe combinação não trivial das funções que resulte em zero. Portanto, o conjunto é linearmente independente.

Resposta

Verdadeiro. O conjunto é linearmente independente.

Exercícios relacionados

Dados os Subespaços,
U=p(t) in P^2(R) / p^prime(t)=0
W=p(t) in P^2(R) / p(0)=p(1)=0
de V=P^2(R). Determine
a) uma base e dimensão de U.
Classifique as matrizes abaixo em escalonada, escalonada reduzida, ambas ou nenhuma.
(a) [lll1 & 2 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0]
(b) [lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0]
© [llll1 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0]
(d) [ll0 & 0 0 & 0 0 & 0]
(e) [rrrr1 & -3 & 4 & 7 0 & 1 & 2 & 2 0 & 0 & 1 & 5]
(f) [llll1 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 & 0]
(g) [rrrr1 & -1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0]
(h) [lll1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1]
Verifique se R^2 com as operações abaixo é um R-espaço vetorial:
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+y1, 0) a(x1, y1)=(a x1, a y1)
para quaisquer a, x1, y1, x2, y2 in R.
Calcule os determinantes dos Exercícios de 9 a 14 pela expansão em cofatores. Em cada passo, escolha uma linha ou coluna que envolva a menor quantidade de cálculos.
|rrrr4 & 0 & 0 & 0 7 & -1 & 0 & 0 2 & 6 & 3 & 0 5 & -8 & 4 & -3|