Coloque V para as assertivas verdadeiras e F para as falsas. Justifique-as.
c) ( ) O conjunto , onde é LI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto , onde:
é linearmente independente (LI). Para isso, vamos precisar entender o que significa ser linearmente independente e como verificar isso usando as funções dadas.
Passo 2
Primeiro, o que é linearmente independente? Um conjunto de funções (ou vetores) é dito ser linearmente independente se nenhuma função do conjunto pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Ou seja, não tem como expressar uma função como múltiplo ou soma das outras.
Passo 3
Agora, vamos verificar se é linearmente independente. Para isso, montamos uma combinação linear igual a zero:
Substituindo as funções:
Passo 4
Vamos expandir a expressão:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos o sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação: -2c3 + 2c2 = 0 Rightarrow c2 = c3
Encontramos que a única solução é . Isso significa que não existe combinação não trivial das funções que resulte em zero. Portanto, o conjunto é linearmente independente.
Resposta
Verdadeiro. O conjunto é linearmente independente.