Calcule os determinantes dos Exercícios de 9 a 14 pela expansão em cofatores. Em cada passo, escolha uma linha ou coluna que envolva a menor quantidade de cálculos.
|rrrr3 & 5 & -8 & 4 0 & -2 & 3 & -7 0 & 0 & 1 & 5 0 & 0 & 0 & 2|

Passo 1

Então, o que a gente precisa fazer aqui é calcular o determinante dessa matriz 4x4 usando a expansão em cofatores. Para facilitar, vamos escolher uma linha ou coluna que tenha mais zeros, porque isso reduz os cálculos que precisamos fazer.

Passo 2

Dando uma olhada na matriz, a última linha tem três zeros. Isso é ótimo porque significa que só precisamos calcular o cofator de um único elemento. Então, vamos expandir pela última linha.

Passo 3

A fórmula da expansão em cofatores para o determinante é:
det(A) = sumj=1^n (-1)^m+j cdot am j cdot det(Mm j)
Aqui, é a linha que escolhemos (no nosso caso, a última linha, que é a 4ª), e é a matriz que sobra quando removemos a linha e a coluna .

Passo 4

Como só o elemento na posição (4,4) não é zero (é 2), a expansão fica bem simples:
det(A) = (-1)^4+4 cdot 2 cdot det(M4 4)
A matriz 3 & 5 & -8 0 & -2 & 3 0 & 0 & 1 que a gente precisa calcular o determinante é:

Passo 5

Observando que det(M4 4) = 3 times (-2) times 1 = -6 é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante dela é só o produto dos elementos da diagonal:

Resposta

Agora, substituindo na fórmula:
det(A) = 1 times 2 times (-6) = -12
Então, o determinante dessa matriz é .

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|rrrr4 & 0 & 0 & 0 7 & -1 & 0 & 0 2 & 6 & 3 & 0 5 & -8 & 4 & -3|
Verifique se R^2 com as operações abaixo é um R-espaço vetorial:
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+y1, 0) a(x1, y1)=(a x1, a y1)
para quaisquer a, x1, y1, x2, y2 in R.
Quais das matrizes abaixo são escalonadas reduzidas?
(a) [rrrr1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 1 & -6]
(b) [rrrr1 & 0 & 0 & 6 0 & 1 & -2 & 4 0 & 0 & 0 & 0]
© [rrrr1 & 0 & 1 & 5 0 & 1 & 4 & -1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0]
(d) [rrrr1 & 3 & 0 & 1 0 & 1 & -2 & 6]
Calcule os determinantes dos Exercícios de 9 a 14 pela expansão em cofatores. Em cada passo, escolha uma linha ou coluna que envolva a menor quantidade de cálculos.
|rrrr1 & -2 & 5 & 2 0 & 0 & 3 & 0 2 & -6 & -7 & 5 5 & 0 & 4 & 4|