Calcule os determinantes dos Exercícios de 9 a 14 pela expansão em cofatores. Em cada passo, escolha uma linha ou coluna que envolva a menor quantidade de cálculos.
Passo 1
Então, o que a gente precisa fazer aqui é calcular o determinante dessa matriz 4x4 usando a expansão em cofatores. Para facilitar, vamos escolher uma linha ou coluna que tenha mais zeros, porque isso reduz os cálculos que precisamos fazer.
Passo 2
Dando uma olhada na matriz, a última linha tem três zeros. Isso é ótimo porque significa que só precisamos calcular o cofator de um único elemento. Então, vamos expandir pela última linha.
Passo 3
A fórmula da expansão em cofatores para o determinante é:
det(A) = sumj=1^n (-1)^m+j cdot am j cdot det(Mm j)
Aqui, é a linha que escolhemos (no nosso caso, a última linha, que é a 4ª), e é a matriz que sobra quando removemos a linha e a coluna .
Passo 4
Como só o elemento na posição (4,4) não é zero (é 2), a expansão fica bem simples:
det(A) = (-1)^4+4 cdot 2 cdot det(M4 4)
A matriz 3 & 5 & -8 0 & -2 & 3 0 & 0 & 1 que a gente precisa calcular o determinante é:
Passo 5
Observando que det(M4 4) = 3 times (-2) times 1 = -6 é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante dela é só o produto dos elementos da diagonal: