Calcule os determinantes dos Exercícios de 9 a 14 pela expansão em cofatores. Em cada passo, escolha uma linha ou coluna que envolva a menor quantidade de cálculos.
|rrrr1 & -2 & 5 & 2 0 & 0 & 3 & 0 2 & -6 & -7 & 5 5 & 0 & 4 & 4|

Passo 1

Beleza! Vamos calcular o determinante dessa matriz 4x4 usando a expansão em cofatores. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar identificar uma linha ou coluna que facilite os cálculos, preferindo aquelas com mais zeros.
A matriz é:
1 & -2 & 5 & 2 0 & 0 & 3 & 0 2 & -6 & -7 & 5 5 & 0 & 4 & 4

Passo 2

Primeiro, vamos escolher a melhor linha para expandir. Olhando para a matriz, a segunda linha tem dois zeros, o que vai facilitar nossos cálculos porque os termos com zero não precisam ser considerados na expansão.

Passo 3

Agora, aplicamos a expansão em cofatores na segunda linha. A fórmula geral para a expansão em cofatores de uma linha det(A) = sumj=1^n (-1)^i+j cdot ai,j cdot Cofatori,j é:
det(A) = (-1)^2+1 cdot 0 cdot Cofator2,1 + (-1)^2+2 cdot 0 cdot Cofator2,2 + (-1)^2+3 cdot 3 cdot Cofator2,3 + (-1)^2+4 cdot 0 cdot Cofator2,4
Onde são os elementos da linha e é o determinante do menor que resulta da remoção da linha e coluna .
Aplicando isso na segunda linha ( ):

Passo 4

Observamos que os termos com zeros desaparecem:
det(A) = (-1)^5 cdot 3 cdot Cofator2,3
Simplificando os sinais:
det(A) = -3 cdot Cofator2,3
Agora, vamos calcular o Cofator Submatriz = 1 & -2 & 2 2 & -6 & 5 5 & 0 & 4 . Isso envolve encontrar o determinante da submatriz que sobra quando removemos a segunda linha e a terceira coluna:

Passo 5

Calculando o determinante dessa submatriz 3x3:
1 & -2 & 2 2 & -6 & 5 5 & 0 & 4 = 1 cdot -6 & 5 0 & 4 - (-2) cdot 2 & 5 5 & 4 + 2 cdot 2 & -6 5 & 0
Calculando cada menor:
-6 & 5 0 & 4 = (-6)(4) - (5)(0) = -24
2 & 5 5 & 4 = (2)(4) - (5)(5) = 8 - 25 = -17
2 & -6 5 & 0 = (2)(0) - (-6)(5) = 0 + 30 = 30
Substituindo de volta:
1 cdot (-24) - (-2) cdot (-17) + 2 cdot 30 = -24 - 34 + 60 = 2
Então, .

Resposta

Finalmente, substituindo o cofactor no determinante original:
det(A) = -3 cdot 2 = -6
O determinante da matriz é -6.

Exercícios relacionados

Quais das matrizes abaixo são escalonadas reduzidas?
(a) [rrrr1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 1 & -6]
(b) [rrrr1 & 0 & 0 & 6 0 & 1 & -2 & 4 0 & 0 & 0 & 0]
© [rrrr1 & 0 & 1 & 5 0 & 1 & 4 & -1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0]
(d) [rrrr1 & 3 & 0 & 1 0 & 1 & -2 & 6]
Calcule os determinantes dos Exercícios de 9 a 14 pela expansão em cofatores. Em cada passo, escolha uma linha ou coluna que envolva a menor quantidade de cálculos.
|rrrr3 & 5 & -8 & 4 0 & -2 & 3 & -7 0 & 0 & 1 & 5 0 & 0 & 0 & 2|
Classifique cada afirmação em verdadeira (V) ou falsa (F):
(a) Toda matriz escalonada reduzida é também escalonada.
(b) Toda matriz escalonada é também escalonada reduzida.
© A in Mm times n é equivalente por linhas a apenas uma matriz escalonada.
(d) A in Mm times n é equivalente por linhas a apenas uma matriz escalonada reduzida.
Dados a, x1, y1, x2, y2 in R, considere as seguintes operações definidas em R^2 :
(x1, y1)+(x2, y2) & =(x1 cdot x2, y1 cdot y2) a(x1, y1) & =(a x1, 0)
Mostre que com essas operações, R^2 não é um R-espaço vetorial.