Beleza, vamos lá! Você me deu quatro afirmações sobre matrizes escalonadas e escalonadas reduzidas. Nosso objetivo é decidir se cada uma é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, precisamos entender o que são matrizes escalonadas e escalonadas reduzidas, e como elas se relacionam. Vamos precisar conhecer os critérios que definem cada tipo de matriz e como elas são equivalentes por linhas.
Passo 2
Vamos começar com a afirmação (a): “Toda matriz escalonada reduzida é também escalonada.”
Primeiro, lembremos que uma matriz escalonada reduzida já satisfaz todos os critérios de uma matriz escalonada. Ou seja, ela não só é escalonada, mas também tem elementos principais igual a 1 e zeros acima e abaixo desses 1s. Portanto, se uma matriz é escalonada reduzida, ela, por definição, é escalonada.
Classificação: Verdadeira (V)
Passo 3
Agora, a afirmação (b): “Toda matriz escalonada é também escalonada reduzida.”
Aqui, precisamos pensar no contrário do que fizemos antes. Nem toda matriz escalonada atende aos requisitos de uma matriz escalonada reduzida. Para ser reduzida, a matriz escalonada deve ter 1s como elementos principais e zeros acima desses 1s. Uma matriz apenas escalonada pode ter números diferentes de 1 nos elementos principais e não necessariamente zeros acima deles.
Isso significa que qualquer matriz pode ser transformada por operações de linha em somente uma única matriz escalonada. De fato, cada classe de equivalência por linhas tem exatamente uma matriz escalonada associada. Isso ocorre porque, através das operações de linha, podemos reduzir a matriz a uma forma escalonada única.
Classificação: Verdadeira (V)
Passo 5
Por último, a afirmação (d): " é equivalente por linhas a apenas uma matriz escalonada reduzida."
Similar à afirmação anterior, mas agora falando sobre matrizes escalonadas reduzidas. Assim como há uma única matriz escalonada para cada classe de equivalência por linhas, também existe uma única matriz escalonada reduzida para cada classe. As operações de linha podem levar qualquer matriz à sua forma escalonada reduzida única.