Dados , considere as seguintes operações definidas em :
Mostre que com essas operações, não é um -espaço vetorial.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto , que normalmente consideramos como o espaço vetorial padrão com adição e multiplicação por escalar convencionais. Porém, neste exercício, as operações de adição e multiplicação por escalar são definidas de maneira diferente:
Precisamos mostrar que, com essas operações, não forma um espaço vetorial sobre . Para isso, vamos revisar rapidamente o que é um espaço vetorial e quais propriedades ele deve satisfazer. Depois, vamos verificar se essas propriedades são cumpridas com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (neste caso, ) é um conjunto equipado com duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, que devem satisfazer oito axiomas fundamentais. Alguns desses axiomas incluem a existência de um elemento neutro para a adição, a existência de inversos aditivos, a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores, entre outros.
Nosso objetivo é verificar se, com as operações definidas no exercício, todos esses axiomas são satisfeitos ou não. Se algum axiom não for atendido, então não é um espaço vetorial com essas operações.
Passo 3
Vamos começar verificando o elemento neutro para a adição. Em um espaço vetorial, deve existir um vetor zero tal que, para qualquer vetor , a soma .
Com as operações definidas:
Mas isso não resulta no vetor original , a menos que e . Portanto, o elemento neutro para a adição, conforme definido, é sempre , mas a soma com não preserva o vetor original a menos que o vetor seja zero. Isso já indica um problema com o axioma do elemento neutro.
Passo 4
Agora, vamos verificar o inverso aditivo. Em um espaço vetorial, para cada vetor , deve existir um vetor tal que:
Com as operações definidas:
Para que isso seja igual a , precisaríamos que e , o que só ocorre se e . Portanto, somente o vetor possui um inverso aditivo que satisfaz a condição, o que não é suficiente para um espaço vetorial.
Passo 5
Vamos também verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Em um espaço vetorial, devemos ter:
Com as operações definidas:
À esquerda:
À direita:
Para que esses dois resultados sejam iguais, precisaríamos que . Isso implica que para todos os escalar , o que só é verdadeiro para ou . Mas como os escalares podem ser quaisquer números reais, a igualdade não se mantém para todos os casos.
Resposta
Com as operações definidas, não satisfaz os axiomas necessários para ser um espaço vetorial sobre . Portanto, não é um -espaço vetorial com essas operações.