Dados
, considere as seguintes operações definidas em
:
Mostre que com essas operações,
não é um
-espaço vetorial.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
, que normalmente consideramos como o espaço vetorial padrão com adição e multiplicação por escalar convencionais. Porém, neste exercício, as operações de adição e multiplicação por escalar são definidas de maneira diferente:
Precisamos mostrar que, com essas operações,
não forma um espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos revisar rapidamente o que é um espaço vetorial e quais propriedades ele deve satisfazer. Depois, vamos verificar se essas propriedades são cumpridas com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (neste caso,
) é um conjunto equipado com duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, que devem satisfazer oito axiomas fundamentais. Alguns desses axiomas incluem a existência de um elemento neutro para a adição, a existência de inversos aditivos, a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores, entre outros.
Nosso objetivo é verificar se, com as operações definidas no exercício, todos esses axiomas são satisfeitos ou não. Se algum axiom não for atendido, então
não é um espaço vetorial com essas operações.
Passo 3
Vamos começar verificando o elemento neutro para a adição. Em um espaço vetorial, deve existir um vetor zero tal que, para qualquer vetor
, a soma
.
Com as operações definidas:
Mas isso não resulta no vetor original
, a menos que
e
. Portanto, o elemento neutro para a adição, conforme definido, é sempre
, mas a soma com
não preserva o vetor original a menos que o vetor seja zero. Isso já indica um problema com o axioma do elemento neutro.
Passo 4
Agora, vamos verificar o inverso aditivo. Em um espaço vetorial, para cada vetor
, deve existir um vetor
tal que:
Com as operações definidas:
Para que isso seja igual a
, precisaríamos que
e
, o que só ocorre se
e
. Portanto, somente o vetor
possui um inverso aditivo que satisfaz a condição, o que não é suficiente para um espaço vetorial.
Passo 5
Vamos também verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Em um espaço vetorial, devemos ter:
Com as operações definidas:
À esquerda:
À direita:
Para que esses dois resultados sejam iguais, precisaríamos que
. Isso implica que
para todos os escalar
, o que só é verdadeiro para
ou
. Mas como os escalares podem ser quaisquer números reais, a igualdade não se mantém para todos os casos.
Resposta
Com as operações definidas,
não satisfaz os axiomas necessários para ser um espaço vetorial sobre
. Portanto,
não é um
-espaço vetorial com essas operações.