Dados a, x1, y1, x2, y2 in R, considere as seguintes operações definidas em R^2 :
(x1, y1)+(x2, y2) & =(x1 cdot x2, y1 cdot y2) a(x1, y1) & =(a x1, 0)
Mostre que com essas operações, R^2 não é um R-espaço vetorial.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto R^2, que normalmente consideramos como o espaço vetorial padrão com adição e multiplicação por escalar convencionais. Porém, neste exercício, as operações de adição e multiplicação por escalar são definidas de maneira diferente:
(x1, y1)+(x2, y2) & =(x1 cdot x2, y1 cdot y2) a(x1, y1) & =(a x1, 0)
Precisamos mostrar que, com essas operações, R^2 não forma um espaço vetorial sobre R. Para isso, vamos revisar rapidamente o que é um espaço vetorial e quais propriedades ele deve satisfazer. Depois, vamos verificar se essas propriedades são cumpridas com as operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um corpo (neste caso, R) é um conjunto equipado com duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, que devem satisfazer oito axiomas fundamentais. Alguns desses axiomas incluem a existência de um elemento neutro para a adição, a existência de inversos aditivos, a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores, entre outros.
Nosso objetivo é verificar se, com as operações definidas no exercício, todos esses axiomas são satisfeitos ou não. Se algum axiom não for atendido, então R^2 não é um espaço vetorial com essas operações.

Passo 3

Vamos começar verificando o elemento neutro para a adição. Em um espaço vetorial, deve existir um vetor zero tal que, para qualquer vetor (x, y), a soma (x, y) + (0, 0) = (x, y).
Com as operações definidas:
(x, y) + (0, 0) = (x cdot 0, y cdot 0) = (0, 0)
Mas isso não resulta no vetor original (x, y), a menos que x = 0 e y = 0. Portanto, o elemento neutro para a adição, conforme definido, é sempre (0, 0), mas a soma com (0, 0) não preserva o vetor original a menos que o vetor seja zero. Isso já indica um problema com o axioma do elemento neutro.

Passo 4

Agora, vamos verificar o inverso aditivo. Em um espaço vetorial, para cada vetor (x, y), deve existir um vetor (-x, -y) tal que:
(x, y) + (-x, -y) = (0, 0)
Com as operações definidas:
(x, y) + (-x, -y) = (x cdot (-x), y cdot (-y)) = (-x^2, -y^2)
Para que isso seja igual a (0, 0), precisaríamos que x^2 = 0 e y^2 = 0, o que só ocorre se x = 0 e y = 0. Portanto, somente o vetor (0, 0) possui um inverso aditivo que satisfaz a condição, o que não é suficiente para um espaço vetorial.

Passo 5

Vamos também verificar a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores. Em um espaço vetorial, devemos ter:
a( (x1, y1) + (x2, y2) ) = a(x1, y1) + a(x2, y2)
Com as operações definidas:
À esquerda:
a( (x1, y1) + (x2, y2) ) = a(x1 cdot x2, y1 cdot y2) = (a cdot x1 cdot x2, 0)
À direita:
a(x1, y1) + a(x2, y2) = (a x1, 0) + (a x2, 0) = (a x1 cdot a x2, 0 cdot 0) = (a^2 x1 x2, 0)
Para que esses dois resultados sejam iguais, precisaríamos que a cdot x1 cdot x2 = a^2 x1 x2. Isso implica que a = a^2 para todos os escalar a, o que só é verdadeiro para a = 0 ou a = 1. Mas como os escalares podem ser quaisquer números reais, a igualdade não se mantém para todos os casos.

Resposta

Com as operações definidas, R^2 não satisfaz os axiomas necessários para ser um espaço vetorial sobre R. Portanto, R^2 não é um R-espaço vetorial com essas operações.

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(d) A in Mm times n é equivalente por linhas a apenas uma matriz escalonada reduzida.
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