Calcule os determinantes dos Exercícios de 9 a 14 pela expansão em cofatores. Em cada passo, escolha uma linha ou coluna que envolva a menor quantidade de cálculos.
|rrrrr4 & 0 & -7 & 3 & -5 0 & 0 & 2 & 0 & 0 7 & 3 & -6 & 4 & -8 5 & 0 & 5 & 2 & -3 0 & 0 & 9 & -1 & 2|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de determinantes usando expansão por cofatores. A gente vai trabalhar com matrizes e precisará escolher uma linha ou coluna que tenha o maior número de zeros para facilitar os cálculos. Isso ajuda a simplificar bastante o processo!

Passo 2

Dando uma olhada na matriz que você passou, a segunda linha tem muitos zeros:
4 & 0 & -7 & 3 & -5 0 & 0 & 2 & 0 & 0 7 & 3 & -6 & 4 & -8 5 & 0 & 5 & 2 & -3 0 & 0 & 9 & -1 & 2
Vamos fazer a expansão pelos cofatores nessa segunda linha porque ela tem mais zeros, o que vai deixar nossos cálculos mais fáceis.

Passo 3

Na segunda linha, só tem dois elementos diferentes de zero: o elemento da terceira coluna (2) e os demais são zeros. Isso significa que só precisamos calcular o cofator desse elemento, já que os outros vão multiplicar por zero e não precisar calcular.

Passo 4

Vamos calcular o cofator do elemento C2,3 = (-1)^2+3 times Menor(2,3) . O cofator C2,3 = (-1)^5 times Menor(2,3) = -1 times Menor(2,3) é dado por:
Isso fica:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o menor 4 & 0 & 3 & -5 7 & 3 & 4 & -8 5 & 0 & 2 & -3 0 & 0 & -1 & 2 , que é o determinante da matriz 4x4 que sobra quando removemos a segunda linha e a terceira coluna:
Vamos calcular esse determinante usando expansão por cofatores novamente.

Passo 6

Observando essa matriz 4x4, a quarta linha tem dois zeros, então vamos expandir por essa linha:
4 & 0 & 3 & -5 7 & 3 & 4 & -8 5 & 0 & 2 & -3 0 & 0 & -1 & 2
Os elementos não nulos são e .

Passo 7

Calculamos os cofatores desses elementos:
C4,3 = (-1)^4+3 times Menor(4,3) = (-1)^7 times Menor(4,3) = -1 times Menor(4,3)
C4,4 = (-1)^4+4 times Menor(4,4) = (-1)^8 times Menor(4,4) = 1 times Menor(4,4)

Passo 8

Calculando os menores:
Menor(4,3) = 4 & 0 & -5 7 & 3 & -8 5 & 0 & -3
Menor(4,4) = 4 & 0 & 3 7 & 3 & 4 5 & 0 & 2

Passo 9

Calculando 4 & 0 & -5 7 & 3 & -8 5 & 0 & -3 = 4 times 3 & -8 0 & -3 - 0 + (-5) times 7 & 3 5 & 0 :
= 4 times (3 times -3 - (-8) times 0) - 5 times (7 times 0 - 3 times 5) = 4 times (-9) - 5 times (-15) = -36 + 75 = 39

Passo 10

Calculando 4 & 0 & 3 7 & 3 & 4 5 & 0 & 2 = 4 times 3 & 4 0 & 2 - 0 + 3 times 7 & 3 5 & 0 :
= 4 times (3 times 2 - 4 times 0) + 3 times (7 times 0 - 3 times 5) = 4 times 6 + 3 times (-15) = 24 - 45 = -21

Passo 11

Voltando aos cofatores:
C4,3 = -1 times 39 = -39
C4,4 = 1 times (-21) = -21
Agora, o determinante da matriz 4x4 é:
Menor(2,3) = a4,3 times C4,3 + a4,4 times C4,4 = (-1) times (-39) + 2 times (-21) = 39 - 42 = -3

Passo 12

Voltando ao cofator original:
C2,3 = -1 times (-3) = 3
E, finalmente, o determinante da matriz original:
det(A) = a2,3 times C2,3 = 2 times 3 = 6

Resposta

O determinante da matriz é .

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