Calcule os determinantes dos Exercícios de 9 a 14 pela expansão em cofatores. Em cada passo, escolha uma linha ou coluna que envolva a menor quantidade de cálculos.
|rrrr6 & 0 & 0 & 5 1 & 7 & 2 & -5 2 & 0 & 0 & 0 8 & 3 & 1 & 8|

Passo 1

Beleza! A gente precisa calcular o determinante dessa matriz 4x4 usando expansão por cofatores. O determinante é uma ferramenta importante na matemática que nos ajuda a entender propriedades das matrizes, como se elas são invertíveis ou não. Para resolver isso, vamos escolher uma linha ou coluna que seja mais fácil, ou seja, que tenha mais zeros, para facilitar os cálculos.
6 & 0 & 0 & 5 1 & 7 & 2 & -5 2 & 0 & 0 & 0 8 & 3 & 1 & 8

Passo 2

Primeiro, vamos escolher a terceira coluna porque ela tem dois zeros, o que reduz a quantidade de cofatores que precisamos calcular.

Passo 3

A fórmula para o determinante usando expansão por cofatores na terceira coluna é:
det(A) = a13 cdot C13 + a23 cdot C23 + a33 cdot C33 + a43 cdot C43
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Vamos identificar os elementos da terceira coluna:
  • det(A) = 0 cdot C13 + 2 cdot C23 + 0 cdot C33 + 1 cdot C43 = 2C23 + C43
Como alguns desses elementos são zero, simplifica a conta:

Passo 5

Agora, vamos calcular os cofatores Cij = (-1)^i+j cdot Mij e .
Para calcular um cofator , usamos:
Onde é o menor complementar, que é o determinante da matriz que sobra ao remover a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Passo 6

Calculando 6 & 0 & 5 2 & 0 & 0 8 & 3 & 8 :
  • C23 = (-1)^2+3 cdot det(M23) = -det(M23) ,
  • Menor complementar :
  • Cofator:

Passo 7

Calculando det( 6 & 0 & 5 2 & 0 & 0 8 & 3 & 8 ) = 6 0 & 0 3 & 8 - 0 2 & 0 8 & 8 + 5 2 & 0 8 & 3 :
0 & 0 3 & 8
Calculando cada determinante menor:
  • 2 & 0 8 & 3
  • det(M23) = 6 times 0 - 0 + 5 times 6 = 30
Então,
C23 = -30
Portanto,

Passo 8

Agora, calculando 6 & 0 & 5 1 & 7 & -5 2 & 0 & 0 :
  • C43 = (-1)^4+3 cdot det(M43) = -det(M43) ,
  • Menor complementar :
  • Cofator:

Passo 9

Calculando det( 6 & 0 & 5 1 & 7 & -5 2 & 0 & 0 ) = 6 7 & -5 0 & 0 - 0 1 & -5 2 & 0 + 5 1 & 7 2 & 0 :
7 & -5 0 & 0
Calculando cada determinante menor:
  • 1 & 7 2 & 0
  • det(M43) = 6 times 0 - 0 + 5 times (-14) = -70
Então,
C43 = -(-70) = 70
Portanto,

Passo 10

Agora, voltamos à fórmula inicial:
det(A) = 2C23 + C43 = 2 times (-30) + 70 = -60 + 70 = 10

Resposta

O determinante da matriz é 10.

Exercícios relacionados

Encontre uma matriz escalonada equivalente por linhas às matrizes abaixo: (b) [rrrr3 & 6 & 3 & 3 2 & 4 & -3 & 2 1 & 2 & 1 & -1]
Calcule os determinantes dos Exercícios de 9 a 14 pela expansão em cofatores. Em cada passo, escolha uma linha ou coluna que envolva a menor quantidade de cálculos.
|rrrrr4 & 0 & -7 & 3 & -5 0 & 0 & 2 & 0 & 0 7 & 3 & -6 & 4 & -8 5 & 0 & 5 & 2 & -3 0 & 0 & 9 & -1 & 2|
Dado n um inteiro positivo, seja Pn(R)=a0+a1 x+cdots+an x^n: ai in R o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n de uma variável com coeficientes reais. Mostre que Pn(R) é um R-espaço vetorial.
Calcule os determinantes dos Exercícios de 9 a 14 pela expansão em cofatores. Em cada passo, escolha uma linha ou coluna que envolva a menor quantidade de cálculos.
|rrrrr6 & 3 & 2 & 4 & 0 9 & 0 & -4 & 1 & 0 8 & -5 & 6 & 7 & 1 3 & 0 & 0 & 0 & 0 4 & 2 & 3 & 2 & 0|