(f) passa pelo ponto E(1,2,2) e contém os vetores v=(2,-1,1) e w=(-3,1,-2);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está pedindo para a gente encontrar uma equação de um plano que passa pelo ponto e que contém os vetores e . O conteúdo que vamos precisar aqui envolve geometria analítica, especificamente a determinação de planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, para achar a equação do plano, a gente precisa de um ponto que pertence ao plano (que já temos: ) e de um vetor normal ao plano. Para encontrar esse vetor normal, vamos usar o produto vetorial dos dois vetores que estão no plano, e .

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial a times b = ( a2b3 - a3b2, , a3b1 - a1b3, , a1b2 - a2b1 ) . O produto vetorial entre dois vetores v times w = ( (-1)(-2) - (1)(1), , (1)(-3) - (2)(-2), , (2)(1) - (-1)(-3) ) e v times w = (2 - 1, , -3 + 4, , 2 - 3) = (1, 1, -1) é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Calculando cada componente:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Com o vetor normal n cdot (r - r0) = 0 e o ponto (1, 1, -1) cdot ( (x, y, z) - (1, 2, 2) ) = 0 , podemos usar a equação geral do plano, que é dada por:
1(x - 1) + 1(y - 2) - 1(z - 2) = 0
Onde:
  • é o vetor normal,
  • é um ponto genérico no plano,
  • é o ponto conhecido no plano.
Substituindo os valores:
Isso se expande para:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
x - 1 + y - 2 - z + 2 = 0
Juntando os termos semelhantes:
x + y - z - 1 = 0
Podemos também escrever a equação na forma padrão:
x + y - z = 1

Resposta

A equação do plano é .

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