Seja
um elemento não nulo de um espaço vetorial real
. Mostre que a função
é injetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial real
e um vetor
que não é zero nesse espaço. A questão pede para mostrar que a função que pega um número real
e mapeia para
em
é injetora. Pra isso, vamos precisar entender o que significa ser uma função injetora e aplicar isso nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função
é injetora se, sempre que
, então necessariamente
. Ou seja, valores diferentes de
não podem dar o mesmo resultado em
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função específica:
Queremos provar que se
, então
.
Passo 4
Suponha que
. Isso significa que:
Passo 5
Podemos rearranjar essa equação para:
Aqui, usamos a propriedade distributiva da multiplicação escalar sobre a adição de vetores.
Passo 6
Sabemos que
não é o vetor zero (
). Em um espa��o vetorial, se um vetor não nulo multiplicado por um escalar dá o vetor zero, então o escalar deve ser zero. Portanto:
Passo 7
Como mostramos que
sempre que
, concluímos que a função
é de fato injetora.
Resposta
A função é injetora.
Exercícios relacionados
Dados
, considere as seguintes operações definidas em
:
Mostre que com essas operações,
não é um
-espaço vetorial.
Classifique cada afirmação em verdadeira (V) ou falsa (F):
(a) Toda matriz escalonada reduzida é também escalonada.
(b) Toda matriz escalonada é também escalonada reduzida.
© é equivalente por linhas a apenas uma matriz escalonada.
(d) é equivalente por linhas a apenas uma matriz escalonada reduzida.
(a) Toda matriz escalonada reduzida é também escalonada.
(b) Toda matriz escalonada é também escalonada reduzida.
©
(d)
(f) passa pelo ponto
e contém os vetores
e
;
Calcule os determinantes dos Exercícios de 9 a 14 pela expansão em cofatores. Em cada passo, escolha uma linha ou coluna que envolva a menor quantidade de cálculos.