Seja v um elemento não nulo de um espaço vetorial real V. Mostre que a função
& R longrightarrow V & a longmapsto a v
é injetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial real e um vetor que não é zero nesse espaço. A questão pede para mostrar que a função que pega um número real e mapeia para em é injetora. Pra isso, vamos precisar entender o que significa ser uma função injetora e aplicar isso nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então necessariamente . Ou seja, valores diferentes de não podem dar o mesmo resultado em .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função específica:
f: R longrightarrow V a longmapsto a v
Queremos provar que se , então .

Passo 4

Suponha que a1 v = a2 v . Isso significa que:

Passo 5

Podemos rearranjar essa equação para:
(a1 - a2) v = 0
Aqui, usamos a propriedade distributiva da multiplicação escalar sobre a adição de vetores.

Passo 6

Sabemos que a1 - a2 = 0 implies a1 = a2 não é o vetor zero ( ). Em um espa��o vetorial, se um vetor não nulo multiplicado por um escalar dá o vetor zero, então o escalar deve ser zero. Portanto:

Passo 7

Como mostramos que sempre que , concluímos que a função é de fato injetora.

Resposta

A função é injetora.

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