Seja v um elemento não nulo de um espaço vetorial real V. Mostre que a função
& R longrightarrow V & a longmapsto a v
é injetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial real e um vetor que não é zero nesse espaço. A questão pede para mostrar que a função que pega um número real e mapeia para em é injetora. Pra isso, vamos precisar entender o que significa ser uma função injetora e aplicar isso nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então necessariamente . Ou seja, valores diferentes de não podem dar o mesmo resultado em .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função específica:
f: R longrightarrow V a longmapsto a v
Queremos provar que se , então .

Passo 4

Suponha que a1 v = a2 v . Isso significa que:

Passo 5

Podemos rearranjar essa equação para:
(a1 - a2) v = 0
Aqui, usamos a propriedade distributiva da multiplicação escalar sobre a adição de vetores.

Passo 6

Sabemos que a1 - a2 = 0 implies a1 = a2 não é o vetor zero ( ). Em um espa��o vetorial, se um vetor não nulo multiplicado por um escalar dá o vetor zero, então o escalar deve ser zero. Portanto:

Passo 7

Como mostramos que sempre que , concluímos que a função é de fato injetora.

Resposta

A função é injetora.

Exercícios relacionados

Dados a, x1, y1, x2, y2 in R, considere as seguintes operações definidas em R^2 :
(x1, y1)+(x2, y2) & =(x1 cdot x2, y1 cdot y2) a(x1, y1) & =(a x1, 0)
Mostre que com essas operações, R^2 não é um R-espaço vetorial.
Classifique cada afirmação em verdadeira (V) ou falsa (F):
(a) Toda matriz escalonada reduzida é também escalonada.
(b) Toda matriz escalonada é também escalonada reduzida.
© A in Mm times n é equivalente por linhas a apenas uma matriz escalonada.
(d) A in Mm times n é equivalente por linhas a apenas uma matriz escalonada reduzida.
(f) passa pelo ponto E(1,2,2) e contém os vetores v=(2,-1,1) e w=(-3,1,-2);
Calcule os determinantes dos Exercícios de 9 a 14 pela expansão em cofatores. Em cada passo, escolha uma linha ou coluna que envolva a menor quantidade de cálculos.
|rrrrr4 & 0 & -7 & 3 & -5 0 & 0 & 2 & 0 & 0 7 & 3 & -6 & 4 & -8 5 & 0 & 5 & 2 & -3 0 & 0 & 9 & -1 & 2|