Seja
um elemento não nulo de um espaço vetorial real
. Mostre que a função
é injetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial real
e um vetor
que não é zero nesse espaço. A questão pede para mostrar que a função que pega um número real
e mapeia para
em
é injetora. Pra isso, vamos precisar entender o que significa ser uma função injetora e aplicar isso nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função
é injetora se, sempre que
, então necessariamente
. Ou seja, valores diferentes de
não podem dar o mesmo resultado em
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função específica:
Queremos provar que se
, então
.
Passo 4
Suponha que
. Isso significa que:
Passo 5
Podemos rearranjar essa equação para:
Aqui, usamos a propriedade distributiva da multiplicação escalar sobre a adição de vetores.
Passo 6
Sabemos que
não é o vetor zero (
). Em um espa��o vetorial, se um vetor não nulo multiplicado por um escalar dá o vetor zero, então o escalar deve ser zero. Portanto:
Passo 7
Como mostramos que
sempre que
, concluímos que a função
é de fato injetora.
Resposta
A função é injetora.