Calcule os determinantes dos Exercícios de 9 a 14 pela expansão em cofatores. Em cada passo, escolha uma linha ou coluna que envolva a menor quantidade de cálculos.
|rrrrr6 & 3 & 2 & 4 & 0 9 & 0 & -4 & 1 & 0 8 & -5 & 6 & 7 & 1 3 & 0 & 0 & 0 & 0 4 & 2 & 3 & 2 & 0|

Passo 1

Beleza, vamos resolver o determinante dessa matriz de 5x5 usando a expansão por cofatores. Primeiro, vamos entender o que precisamos:
  • Matriz dada:
6 & 3 & 2 & 4 & 0 9 & 0 & -4 & 1 & 0 8 & -5 & 6 & 7 & 1 3 & 0 & 0 & 0 & 0 4 & 2 & 3 & 2 & 0
  • Conteúdo da matéria: Cálculo de determinantes usando a expansão por cofatores.
  • O que precisamos: Escolher uma linha ou coluna com mais zeros para facilitar os cálculos, calcular os cofatores e somar os produtos correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a matriz e identificar qual linha ou coluna tem mais zeros, pois isso simplifica nossos cálculos. Olhando para a matriz:
  • A quarta linha tem quatro elementos iguais a zero:
3 & 0 & 0 & 0 & 0
Isso é ótimo porque, ao expandir pelos cofatores dessa linha, muitos termos vão ser zero, facilitando nosso trabalho.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona a expansão por cofatores. Para uma linha escolhida, o determinante é a soma dos elementos dessa linha multiplicados pelos seus respectivos cofatores. Ou seja:
det(A) = sumj=1^n aij cdot Cij
Onde:
  • é o elemento na linha e coluna .
  • é o cofator correspondente.
Como a quarta linha tem apenas um elemento não zero (3 na primeira coluna), a fórmula fica bem simples.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula na quarta linha. Sabemos que apenas o primeiro elemento é diferente de zero:
  • det(A) = a41 cdot C41 + 0 + 0 + 0 + 0 = 3 cdot C41
  • Os demais
Portanto, o determinante será:

Passo 5

Agora, precisamos calcular o cofator Cij = (-1)^i+j cdot Mij . O cofator é dado por:
M41 = 3 & 2 & 4 & 0 0 & -4 & 1 & 0 -5 & 6 & 7 & 1 2 & 3 & 2 & 0
Onde é o menor complementar, ou seja, a matriz que sobra quando removemos a -ésima linha e -ésima coluna.
Para :
  • ,
  • Vamos formar a matriz removendo a 4ª linha e 1ª coluna:

Passo 6

Agora, precisamos calcular 3 & 2 & 4 & 0 0 & -4 & 1 & 0 -5 & 6 & 7 & 1 2 & 3 & 2 & 0 , que é um determinante de 4x4. Vamos usar novamente a expansão por cofatores, escolhendo a linha ou coluna com mais zeros. Observando :
A quarta coluna tem dois zeros, o que ainda ajuda um pouco, mas não tanto quanto a quarta linha anterior. Vamos optar por expandir pela primeira coluna, já que há um zero na segunda linha.

Passo 7

Expanda M41 = 3 cdot C11 + 0 cdot C21 + (-5) cdot C31 + 2 cdot C41 pela primeira coluna:
M41 = 3 cdot C11 - 5 cdot C31 + 2 cdot C41
Como o segundo termo é multiplicado por zero, ele some zero:

Passo 8

Vamos calcular cada cofator:
  1. Para C11 = (-1)^1+1 cdot M11 = 1 cdot -4 & 1 & 0 6 & 7 & 1 3 & 2 & 0 :
C31 = (-1)^3+1 cdot M31 = 1 cdot 2 & 4 & 0 -4 & 1 & 0 3 & 2 & 0
  1. Para C41 = (-1)^4+1 cdot M41 = -1 cdot 2 & 4 & 0 -4 & 1 & 0 6 & 7 & 1 :
  1. Para :

Passo 9

Calculando cada determinante menor:
  1. Calculando M11 = -4 & 1 & 0 6 & 7 & 1 3 & 2 & 0 :
= -4 cdot (7 cdot 0 - 1 cdot 2) - 1 cdot (6 cdot 0 - 1 cdot 3) + 0 cdot (6 cdot 2 - 7 cdot 3)
Usamos a regra de Sarrus ou expansão:
= -4 cdot (0 - 2) - 1 cdot (0 - 3) + 0
= -4 cdot (-2) -1 cdot (-3)
= 8 + 3 = 11
M31 = 2 & 4 & 0 -4 & 1 & 0 3 & 2 & 0
  1. Calculando M31 = 0 :
M41 = 2 & 4 & 0 -4 & 1 & 0 6 & 7 & 1
Perceba que a terceira coluna é toda zero, então o determinante é zero:
= 2 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 7) - 4 cdot (-4 cdot 1 - 0 cdot 6) + 0 cdot (-4 cdot 7 - 1 cdot 6)
  1. Calculando = 2 cdot (1 - 0) -4 cdot (-4 - 0) + 0 :
= 2 cdot 1 -4 cdot (-4)
Usamos a regra de Sarrus:
= 2 +16 = 18

Passo 10

Agora, substituímos os valores dos cofatores de volta na expressão de M41 = 3 cdot 11 -5 cdot 0 + 2 cdot (-18) :
= 33 - 0 -36
= -3

Passo 11

Lembrando que:
C41 = (-1)^4+1 cdot M41 = -1 cdot (-3) = 3
Finalmente, voltamos à nossa expressão original para o determinante da matriz 5x5:
det(A) = 3 cdot C41 = 3 cdot 3 = 9

Resposta

O determinante da matriz dada é 9.

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