Calcule os determinantes dos Exercícios de 9 a 14 pela expansão em cofatores. Em cada passo, escolha uma linha ou coluna que envolva a menor quantidade de cálculos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o determinante dessa matriz de 5x5 usando a expansão por cofatores. Primeiro, vamos entender o que precisamos:
Conteúdo da matéria: Cálculo de determinantes usando a expansão por cofatores.
O que precisamos: Escolher uma linha ou coluna com mais zeros para facilitar os cálculos, calcular os cofatores e somar os produtos correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a matriz e identificar qual linha ou coluna tem mais zeros, pois isso simplifica nossos cálculos. Olhando para a matriz:
A quarta linha tem quatro elementos iguais a zero:
3 & 0 & 0 & 0 & 0
Isso é ótimo porque, ao expandir pelos cofatores dessa linha, muitos termos vão ser zero, facilitando nosso trabalho.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona a expansão por cofatores. Para uma linha escolhida, o determinante é a soma dos elementos dessa linha multiplicados pelos seus respectivos cofatores. Ou seja:
det(A) = sumj=1^n aij cdot Cij
Onde:
é o elemento na linha e coluna .
é o cofator correspondente.
Como a quarta linha tem apenas um elemento não zero (3 na primeira coluna), a fórmula fica bem simples.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula na quarta linha. Sabemos que apenas o primeiro elemento é diferente de zero:
Onde é o menor complementar, ou seja, a matriz que sobra quando removemos a -ésima linha e -ésima coluna.
Para :
,
Vamos formar a matriz removendo a 4ª linha e 1ª coluna:
Passo 6
Agora, precisamos calcular 3 & 2 & 4 & 0 0 & -4 & 1 & 0 -5 & 6 & 7 & 1 2 & 3 & 2 & 0 , que é um determinante de 4x4. Vamos usar novamente a expansão por cofatores, escolhendo a linha ou coluna com mais zeros. Observando :
A quarta coluna tem dois zeros, o que ainda ajuda um pouco, mas não tanto quanto a quarta linha anterior. Vamos optar por expandir pela primeira coluna, já que há um zero na segunda linha.