Dado n um inteiro positivo, seja Pn(R)=a0+a1 x+cdots+an x^n: ai in R o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a n de uma variável com coeficientes reais. Mostre que Pn(R) é um R-espaço vetorial.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto , que consiste em todos os polinômios de grau menor ou igual a com coeficientes reais. O objetivo é mostrar que esse conjunto é um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais . Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se satisfaz todas as propriedades necessárias.

Passo 2

Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, onde podemos realizar duas operações: adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares (números reais, no nosso caso). Para ser um espaço vetorial, precisamos verificar se essas operações estão bem definidas e se obedecem a certas regras, chamadas de axiomas.

Passo 3

Primeiro, verificamos a adição. Tomemos dois polinômios qualquer em p(x) = a0 + a1x + cdots + anx^n :
q(x) = b0 + b1x + cdots + bnx^n
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + cdots + (an + bn)x^n
A soma desses polinômios é:
Como cada é um número real, o polinômio resultante também pertence a . Isso mostra que é fechado sob adição.

Passo 4

Agora, verificamos a multiplicação por escalar. Seja c cdot p(x) = c cdot a0 + c cdot a1x + cdots + c cdot anx^n um número real e um polinômio em :
Como cada é um número real, o polinômio resultante também está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 5

Por fim, precisamos verificar os axiomas de um espaço vetorial, que incluem propriedades como a existência de um vetor nulo, a existência de um vetor inverso para cada vetor, a associatividade e comutatividade da adição, entre outros. No caso de :
  • Vetor nulo: O polinômio zero pertence a .
  • Vetor inverso: Para cada polinômio , existe um polinômio tal que .
  • Associatividade e comutatividade da adição: A adição de polinômios é associativa e comutativa.
  • Distributividade: A multiplicação por escalar distribui sobre a adição de vetores e de escalares.
Como todas essas propriedades são satisfeitas, podemos concluir que é um espaço vetorial sobre .

Resposta

Portanto, é um -espaço vetorial.

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