Dado
um inteiro positivo, seja
o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a
de uma variável com coeficientes reais. Mostre que
é um
-espaço vetorial.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto
, que consiste em todos os polinômios de grau menor ou igual a
com coeficientes reais. O objetivo é mostrar que esse conjunto é um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais
. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se
satisfaz todas as propriedades necessárias.
Passo 2
Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, onde podemos realizar duas operações: adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares (números reais, no nosso caso). Para
ser um espaço vetorial, precisamos verificar se essas operações estão bem definidas e se obedecem a certas regras, chamadas de axiomas.
Passo 3
Primeiro, verificamos a adição. Tomemos dois polinômios qualquer em
:
A soma desses polinômios é:
Como cada
é um número real, o polinômio resultante também pertence a
. Isso mostra que
é fechado sob adição.
Passo 4
Agora, verificamos a multiplicação por escalar. Seja
um número real e
um polinômio em
:
Como cada
é um número real, o polinômio resultante também está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 5
Por fim, precisamos verificar os axiomas de um espaço vetorial, que incluem propriedades como a existência de um vetor nulo, a existência de um vetor inverso para cada vetor, a associatividade e comutatividade da adição, entre outros. No caso de
:
- Vetor nulo: O polinômio zero
pertence a . - Vetor inverso: Para cada polinômio
, existe um polinômio tal que . - Associatividade e comutatividade da adição: A adição de polinômios é associativa e comutativa.
- Distributividade: A multiplicação por escalar distribui sobre a adição de vetores e de escalares.
Como todas essas propriedades são satisfeitas, podemos concluir que
é um espaço vetorial sobre
.
Resposta
Portanto,
é um
-espaço vetorial.