Dado um inteiro positivo, seja o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a de uma variável com coeficientes reais. Mostre que é um -espaço vetorial.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto , que consiste em todos os polinômios de grau menor ou igual a com coeficientes reais. O objetivo é mostrar que esse conjunto é um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais . Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se satisfaz todas as propriedades necessárias.
Passo 2
Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, onde podemos realizar duas operações: adição de vetores e multiplicação de vetores por escalares (números reais, no nosso caso). Para ser um espaço vetorial, precisamos verificar se essas operações estão bem definidas e se obedecem a certas regras, chamadas de axiomas.
Passo 3
Primeiro, verificamos a adição. Tomemos dois polinômios qualquer em :
A soma desses polinômios é:
Como cada é um número real, o polinômio resultante também pertence a . Isso mostra que é fechado sob adição.
Passo 4
Agora, verificamos a multiplicação por escalar. Seja um número real e um polinômio em :
Como cada é um número real, o polinômio resultante também está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 5
Por fim, precisamos verificar os axiomas de um espaço vetorial, que incluem propriedades como a existência de um vetor nulo, a existência de um vetor inverso para cada vetor, a associatividade e comutatividade da adição, entre outros. No caso de :
Vetor nulo: O polinômio zero pertence a .
Vetor inverso: Para cada polinômio , existe um polinômio tal que .
Associatividade e comutatividade da adição: A adição de polinômios é associativa e comutativa.
Distributividade: A multiplicação por escalar distribui sobre a adição de vetores e de escalares.
Como todas essas propriedades são satisfeitas, podemos concluir que é um espaço vetorial sobre .