Considere o sistema linear . Para quais valores de a o sistema tem: (b) Infinitas soluções.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema linear com três equações e três incógnitas (x, y, z), onde um dos coeficientes depende do parâmetro a. Queremos descobrir para quais valores de a o sistema possui infinitas soluções.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente o uso de matrizes e o cálculo de determinantes para analisar a consistência do sistema e o número de soluções que ele possui.
Passo 2
Vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
Para que o sistema tenha infinitas soluções, a matriz dos coeficientes deve ser singular (ou seja, o determinante deve ser igual a zero) e o sistema deve ser compatível (as equações devem ser dependentes).
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes:
det = 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a^2 -14
Calculando o determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores:
Para que o sistema tenha infinitas soluções, precisamos que o determinante seja igual a zero:
-7a^2 +112 =0
-7a^2 = -112
a^2 = 16
a = pm4
Passo 5
Agora, devemos verificar se o sistema é compatível para esses valores de a = 4 e a = -4. Substituindo a=4 e a=-4 na matriz aumentada, verificamos se as equações são dependentes.
Para a=4:
Equação 3: 4x + y + (16 -14)z = 4 + 2 implies 4x + y + 2z = 6
Podemos observar que essa equação é uma combinação linear das duas primeiras, garantindo infinitas soluções.
Para a=-4:
Equação 3: 4x + y + (16 -14)z = -4 + 2 implies 4x + y + 2z = -2
Novamente, essa equação é compatível com as duas primeiras, garantindo infinitas soluções.
Resposta
Os valores de a para os quais o sistema possui infinitas soluções são a = 4 e a = -4.