Considere o sistema linear lx+2 y-3 z=4 3 x-y+5 z=2 4 x+y+(a^2-14) z=a+2. Para quais valores de a o sistema tem: (b) Infinitas soluções.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema linear com três equações e três incógnitas ( x, y, z), onde um dos coeficientes depende do parâmetro a. Queremos descobrir para quais valores de a o sistema possui infinitas soluções.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente o uso de matrizes e o cálculo de determinantes para analisar a consistência do sistema e o número de soluções que ele possui.

Passo 2

Vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
1 & 2 & -3 & | & 4 3 & -1 & 5 & | & 2 4 & 1 & a^2 -14 & | & a + 2
Para que o sistema tenha infinitas soluções, a matriz dos coeficientes deve ser singular (ou seja, o determinante deve ser igual a zero) e o sistema deve ser compatível (as equações devem ser dependentes).

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes:
det = 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a^2 -14
Calculando o determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores:
det = 1 cdot (-1) cdot (a^2 -14) + 2 cdot 5 cdot 4 + (-3) cdot 3 cdot 1 - [(-3) cdot (-1) cdot 4 + 1 cdot 5 cdot 1 + 2 cdot 3 cdot (a^2 -14)]
Simplificando passo a passo:
det = (-1)(a^2 -14) + 40 - 9 - [12 + 5 + 6(a^2 -14)]
det = -a^2 +14 +40 -9 -12 -5 -6a^2 +84
det = (-a^2 -6a^2) + (14 +40 -9 -12 -5 +84)
det = -7a^2 +112

Passo 4

Para que o sistema tenha infinitas soluções, precisamos que o determinante seja igual a zero:
-7a^2 +112 =0
-7a^2 = -112
a^2 = 16
a = pm4

Passo 5

Agora, devemos verificar se o sistema é compatível para esses valores de a = 4 e a = -4. Substituindo a=4 e a=-4 na matriz aumentada, verificamos se as equações são dependentes.
Para a=4:
Equação 3: 4x + y + (16 -14)z = 4 + 2 implies 4x + y + 2z = 6
Podemos observar que essa equação é uma combinação linear das duas primeiras, garantindo infinitas soluções.
Para a=-4:
Equação 3: 4x + y + (16 -14)z = -4 + 2 implies 4x + y + 2z = -2
Novamente, essa equação é compatível com as duas primeiras, garantindo infinitas soluções.

Resposta

Os valores de a para os quais o sistema possui infinitas soluções são a = 4 e a = -4.

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