Calcule os determinantes:
f) |cccc1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 & 4 1 & 3 & 6 & 10 1 & 4 & 10 & 20|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante de uma matriz . Para isso, vamos usar propriedades de determinantes e realizar operações nas linhas para simplificar a matriz. Vamos precisar lembrar como fazer essas operações sem mudar o valor do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que precisamos calcular o determinante:
1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 3 & 4 1 & 3 & 6 & 10 1 & 4 & 10 & 20

Passo 3

Uma técnica útil para calcular determinantes é transformar a matriz em uma forma mais simples usando operações de linhas, como subtrair uma linha de outra. Vamos começar subtraindo a primeira linha das outras linhas para criar zeros na primeira coluna abaixo do primeiro elemento.

Passo 4

Vamos subtrair a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas:
  • Linha 2: 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 & 3 0 & 2 & 5 & 9 0 & 3 & 9 & 19
  • Linha 3:
  • Linha 4:
A matriz fica assim:

Passo 5

Agora que temos zeros na primeira coluna abaixo do elemento 1 & 2 & 3 2 & 5 & 9 3 & 9 & 19 , podemos simplificar o cálculo do determinante. O determinante da matriz original será igual ao determinante da submatriz que sobra:

Passo 6

Vamos calcular o determinante dessa submatriz 1 & 2 & 3 0 & 1 & 3 0 & 3 & 10 . Para facilitar, podemos usar novamente operações de linhas. Vamos subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda e 3 vezes a primeira linha da terceira:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
A submatriz fica assim:

Passo 7

Agora, calculamos o determinante dessa nova submatriz det = 1 cdot (1 cdot 10 - 3 cdot 3) = 1 cdot (10 - 9) = 1 cdot 1 = 1 . Como temos zeros na primeira coluna, o determinante fica mais simples:

Resposta

O determinante da matriz dada é igual a .

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