Considere os seguintes sistemas de equações lineares:
a) l2 x1-2 x2-x3=4 3 x1+4 x2-2 x3=11, 3 x1-2 x2+4 x3=11
i.) Resolva cada sistema de equações usando o método de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Gauss. O sistema que temos é:
2x1 - 2x2 - x3 = 4 3x1 + 4x2 - 2x3 = 11 3x1 - 2x2 + 4x3 = 11
Vamos precisar usar operações elementares nas linhas da matriz aumentada para chegar até uma forma triangular e, daí, resolver as incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
2 & -2 & -1 & | & 4 3 & 4 & -2 & | & 11 3 & -2 & 4 & | & 11
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal teremos zeros.

Passo 3

Vamos começar eliminando o elemento abaixo de L2 = [3 - 32 times 2, 4 - 32 times (-2), -2 - 32 times (-1), 11 - 32 times 4] na segunda linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por L2 = [0, 4 + 3, -2 + 1.5, 11 - 6] = [0, 7, -0.5, 5] e subtraímos da segunda linha:
2 & -2 & -1 & | & 4 0 & 7 & -0.5 & | & 5 3 & -2 & 4 & | & 11
Calculando:
A matriz agora fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo de L3 = [3 - 32 times 2, -2 - 32 times (-2), 4 - 32 times (-1), 11 - 32 times 4] na terceira linha. Multiplicamos a primeira linha por L3 = [0, -2 + 3, 4 + 1.5, 11 - 6] = [0, 1, 5.5, 5] e subtraímos da terceira linha:
2 & -2 & -1 & | & 4 0 & 7 & -0.5 & | & 5 0 & 1 & 5.5 & | & 5
Calculando:
A matriz atualizada é:

Passo 5

Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Queremos eliminar o elemento abaixo de L3 = [0 - 0, 1 - 17 times 7, 5.5 - 17 times (-0.5), 5 - 17 times 5] na terceira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por L3 = [0, 0, 5.5 + 0.57, 5 - 57] = [0, 0, 5.5 + 0.0714, 4.2857] e subtraímos da terceira linha:
L3 = [0, 0, 5.5714, 4.2857]
Calculando:
2 & -2 & -1 & | & 4 0 & 7 & -0.5 & | & 5 0 & 0 & 5.5714 & | & 4.2857
Aproximando os valores:
A matriz fica:

Passo 6

Agora que temos a matriz em forma triangular, podemos resolver de baixo para cima. Primeiro, resolvemos para 5.5714x3 = 4.2857 implies x3 = 4.28575.5714 approx 0.77 :

Passo 7

Em seguida, substituímos 7x2 - 0.5(0.77) = 5 implies 7x2 - 0.385 = 5 implies 7x2 = 5.385 implies x2 approx 0.769 na segunda equação para encontrar :

Passo 8

Por fim, substituímos 2x1 - 2(0.769) - 0.77 = 4 implies 2x1 - 1.538 - 0.77 = 4 implies 2x1 = 4 + 2.308 implies 2x1 = 6.308 implies x1 approx 3.154 e na primeira equação para encontrar :

Resposta

As soluções aproximadas do sistema são:
x1 approx 3.154, x2 approx 0.769, x3 approx 0.77

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