Determine se as seguintes matrizes são invertíveis, no caso afirmativo calcule a inversa:
а) (lll2 & 1 & 1 3 & 1 & 0 0 & 1 & 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma certa matriz é invertível e, se for, calcular a inversa dela. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e invertibilidade. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o determinante da matriz e, se o determinante for diferente de zero, então a matriz é invertível. Se ela for invertível, usaremos a fórmula da matriz inversa para encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que a gente vai analisar:
A = 2 & 1 & 1 3 & 1 & 0 0 & 1 & 2
Para saber se a matriz é invertível, precisamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, então é invertível.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 2 cdot 1 cdot 2 + 1 cdot 0 cdot 0 + 1 cdot 3 cdot 1 - 1 cdot 1 cdot 0 - 2 cdot 0 cdot 1 - 1 cdot 3 cdot 2 . Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar:
= (2 times 1 times 2) + (1 times 0 times 0) + (1 times 3 times 1) - (1 times 1 times 0) - (2 times 0 times 1) - (1 times 3 times 2)
Calculando passo a passo:
= 4 + 0 + 3 - 0 - 0 - 6
= 7 - 6 = 1

Passo 4

O determinante de é 1, que é diferente de zero. Isso significa que a matriz é invertível. Agora, vamos calcular a inversa dela.

Passo 5

Para encontrar a matriz inversa A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) , podemos usar a fórmula da matriz inversa para matrizes 3x3:
Onde é a adjunta de . Vamos calcular a adjunta.

Passo 6

A adjunta de 1 & 0 1 & 2 é a transposta da matriz dos cofatores de 3 & 0 0 & 2 . Primeiro, vamos encontrar os cofatores de cada elemento da matriz 3 & 1 0 & 1 .
Vamos calcular cada cofator 1 & 1 1 & 2 :
  • 2 & 1 0 & 2
  • 2 & 1 0 & 1
  • 1 & 1 1 & 0
  • 2 & 1 3 & 0
  • 2 & 1 3 & 1
  • Cof(A) = 2 & -6 & 3 -1 & 4 & -2 -1 & 3 & -1
Agora, a matriz dos cofatores é:

Passo 7

A adjunta de adj(A) = Cof(A)^T = 2 & -1 & -1 -6 & 4 & 3 3 & -2 & -1 é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 8

Agora, usando a fórmula da matriz inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = 11 cdot 2 & -1 & -1 -6 & 4 & 3 3 & -2 & -1 = 2 & -1 & -1 -6 & 4 & 3 3 & -2 & -1

Resposta

A matriz é invertível e a sua inversa é:
A^-1 = 2 & -1 & -1 -6 & 4 & 3 3 & -2 & -1

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