Determine se as seguintes matrizes são invertíveis, no caso afirmativo calcule a inversa:
а) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma certa matriz é invertível e, se for, calcular a inversa dela. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e invertibilidade. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o determinante da matriz e, se o determinante for diferente de zero, então a matriz é invertível. Se ela for invertível, usaremos a fórmula da matriz inversa para encontrar a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que a gente vai analisar:
Para saber se a matriz é invertível, precisamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, então é invertível.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz . Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar:
Calculando passo a passo:
Passo 4
O determinante de é 1, que é diferente de zero. Isso significa que a matriz é invertível. Agora, vamos calcular a inversa dela.
Passo 5
Para encontrar a matriz inversa , podemos usar a fórmula da matriz inversa para matrizes 3x3:
Onde é a adjunta de . Vamos calcular a adjunta.
Passo 6
A adjunta de é a transposta da matriz dos cofatores de . Primeiro, vamos encontrar os cofatores de cada elemento da matriz .
Vamos calcular cada cofator :
Agora, a matriz dos cofatores é:
Passo 7
A adjunta de é a transposta da matriz dos cofatores: