Calcule os determinantes:
g) |lllll5 & 6 & 0 & 0 & 0 1 & 5 & 6 & 0 & 0 0 & 1 & 5 & 6 & 0 0 & 0 & 1 & 5 & 6 0 & 0 & 0 & 1 & 5|.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse determinante de uma matriz 5x5. O enunciado nos dá uma matriz com números na diagonal principal, acima e abaixo dela. Vamos usar o conteúdo de Cálculo de Determinantes e a técnica de expansão por cofatores para resolver isso. Precisaremos entender como calcular determinantes passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz que precisamos calcular o determinante:
5 & 6 & 0 & 0 & 0 1 & 5 & 6 & 0 & 0 0 & 1 & 5 & 6 & 0 0 & 0 & 1 & 5 & 6 0 & 0 & 0 & 1 & 5

Passo 3

Para calcular o determinante, podemos usar a regra de Laplace, que envolve expandir o determinante em cofatores. Mas para matrizes grandes, isso fica complicado. Felizmente, essa matriz tem uma estrutura especial que nos permite usar uma fórmula recursiva.

Passo 4

Vamos chamar o determinante dessa matriz de Dn = a cdot Dn-1 - b cdot c cdot Dn-2 . Observando a estrutura, percebemos que cada depende de e . A fórmula recorrente é:
onde , e .

Passo 5

Agora, precisamos dos valores iniciais para começar a calcular:
  • Para D1 = 5 :
D2 = 5 & 6 1 & 5 = (5 times 5) - (6 times 1) = 25 - 6 = 19
  • Para :

Passo 6

Usando a fórmula recorrente, vamos calcular D3 = 5 cdot D2 - 6 cdot 1 cdot D1 = 5 cdot 19 - 6 cdot 5 = 95 - 30 = 65 :

Passo 7

Agora, vamos calcular D4 = 5 cdot D3 - 6 cdot 1 cdot D2 = 5 cdot 65 - 6 cdot 19 = 325 - 114 = 211 :

Passo 8

Por fim, calculamos D5 = 5 cdot D4 - 6 cdot 1 cdot D3 = 5 cdot 211 - 6 cdot 65 = 1055 - 390 = 665 :

Resposta

O determinante da matriz é .

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