Dado (e1, e2, e3) uma base. Determine condições necessárias e suficientes sobre a, b de modo que os vetores (u, v, w) sejam LI, com u, v, w dados por: b) u=e1-e2+e3, v=e1+e2+3 e3, w= a e1+b e2+(b^2+2 a) e3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem três vetores u, v e w expressos na base (e1, e2, e3). A questão pede para encontrar condições sobre os coeficientes a e b de modo que esses vetores sejam linearmente independentes (LI). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o cálculo do determinante de uma matriz formada por esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores u, v e w em forma de coordenadas na base dada:
u = 1 -1 1 , v = 1 1 3 , w = a b b^2 + 2a

Passo 3

Para verificar se esses vetores são linearmente independentes, montamos uma matriz usando esses vetores como colunas:
A = 1 & 1 & a -1 & 1 & b 1 & 3 & b^2 + 2a
A ideia é calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz A:
det(A) = 1 cdot 1 & b 3 & b^2 + 2a - 1 cdot -1 & b 1 & b^2 + 2a + a cdot -1 & 1 1 & 3
Calculando cada menor:
1 & b 3 & b^2 + 2a = 1 cdot (b^2 + 2a) - b cdot 3 = b^2 + 2a - 3b
-1 & b 1 & b^2 + 2a = (-1) cdot (b^2 + 2a) - b cdot 1 = -b^2 - 2a - b
-1 & 1 1 & 3 = (-1) cdot 3 - 1 cdot 1 = -3 - 1 = -4

Passo 5

Substituindo de volta no determinante:
det(A) = 1 cdot (b^2 + 2a - 3b) - 1 cdot (-b^2 - 2a - b) + a cdot (-4)
Simplificando:
det(A) = b^2 + 2a - 3b + b^2 + 2a + b - 4a
det(A) = 2b^2 + (2a + 2a - 4a) + (-3b + b)
det(A) = 2b^2 + 0a - 2b
det(A) = 2b^2 - 2b

Passo 6

Fatorando o determinante:
det(A) = 2b(b - 1)
Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero:
2b(b - 1) neq 0

Passo 7

Resolvendo a inequação:
2b(b - 1) neq 0 Rightarrow b neq 0 e b neq 1
Portanto, para os vetores u, v e w serem linearmente independentes, os valores de b devem ser diferentes de 0 e 1, e a pode ser qualquer número real.

Resposta

Os vetores (u, v, w) são linearmente independentes se e somente se b neq 0 e b neq 1. O valor de a pode ser qualquer número real.

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