Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
(a)
A=[cccc 1 & 3 & 0 & -2 1 & 2 & -2 & -1 0 & 0 & 2 & 1 -1 & -3 & 1 & 0 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o determinante da matriz . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o cálculo de determinantes de matrizes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar a regra de expansão de determinantes, também conhecida como regra de Laplace, onde expandimos o determinante usando cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá várias informações importantes sobre a matriz, como se ela é inversível ou não. Para matrizes maiores, como essa 4x4, podemos calcular o determinante expandindo a matriz em menores, usando a regra de Laplace.

Passo 3

Vamos usar a primeira linha da matriz A = 1 & 3 & 0 & -2 1 & 2 & -2 & -1 0 & 0 & 2 & 1 -1 & -3 & 1 & 0 para expandir o determinante. A matriz det(A) = a11 cdot C11 - a12 cdot C12 + a13 cdot C13 - a14 cdot C14 é:
A fórmula para o determinante usando a regra de Laplace na primeira linha é:
onde são os elementos da matriz e são os cofatores.

Passo 4

Vamos calcular cada termo da expansão:
  1. 2 & -2 & -1 0 & 2 & 1 -3 & 1 & 0
    Cofator 1 & -2 & -1 0 & 2 & 1 -1 & 1 & 0 é o determinante da matriz que sobra ao remover a primeira linha e a primeira coluna:
    1 & 2 & -2 0 & 0 & 2 -1 & -3 & 1

  2. Cofator é o determinante da matriz que sobra ao remover a primeira linha e a segunda coluna:

  3. Mesmo que , calcularemos o cofator para completar a fórmula, mas esse termo será zero.

  4. Cofator é o determinante da matriz que sobra ao remover a primeira linha e a quarta coluna:

Passo 5

Agora, vamos calcular cada determinante dos cofatores:
  1. Para det 2 & -2 & -1 0 & 2 & 1 -3 & 1 & 0 = 2 cdot (2 cdot 0 - 1 cdot 1) - (-2) cdot (0 cdot 0 - 1 cdot (-3)) + (-1) cdot (0 cdot 1 - 2 cdot (-3)) :
    = 2 cdot (-1) - (-2) cdot 3 + (-1) cdot 6 = -2 + 6 - 6 = -2
    det 1 & -2 & -1 0 & 2 & 1 -1 & 1 & 0 = 1 cdot (2 cdot 0 - 1 cdot 1) - (-2) cdot (0 cdot 0 - 1 cdot (-1)) + (-1) cdot (0 cdot 1 - 2 cdot (-1))
  2. Para = 1 cdot (-1) - (-2) cdot 1 + (-1) cdot 2 = -1 + 2 - 2 = -1 :
    det 1 & 2 & -1 0 & 0 & 1 -1 & -3 & 0 = 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot (-3)) - 2 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot (-1)) + (-1) cdot (0 cdot (-3) - 0 cdot (-1))
    = 1 cdot 3 - 2 cdot 1 + (-1) cdot 0 = 3 - 2 + 0 = 1
  3. Para det 1 & 2 & -2 0 & 0 & 2 -1 & -3 & 1 = 1 cdot (0 cdot 1 - 2 cdot (-3)) - 2 cdot (0 cdot 1 - 2 cdot (-1)) + (-2) cdot (0 cdot (-3) - 0 cdot (-1)) :
    Mesmo que seja zero, vamos calcular:
    = 1 cdot (0 + 6) - 2 cdot (0 + 2) + (-2) cdot 0 = 6 - 4 + 0 = 2
  4. Para :

Passo 6

Agora, substituímos os valores dos cofatores na fórmula original:
det(A) = 1 cdot (-2) - 3 cdot (-1) + 0 cdot 1 - (-2) cdot 2
= -2 + 3 + 0 + 4 = 5

Resposta

O determinante da matriz é igual a 5.

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