Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o determinante da matriz . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o cálculo de determinantes de matrizes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar a regra de expansão de determinantes, também conhecida como regra de Laplace, onde expandimos o determinante usando cofatores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá várias informações importantes sobre a matriz, como se ela é inversível ou não. Para matrizes maiores, como essa 4x4, podemos calcular o determinante expandindo a matriz em menores, usando a regra de Laplace.
Passo 3
Vamos usar a primeira linha da matriz A = 1 & 3 & 0 & -2 1 & 2 & -2 & -1 0 & 0 & 2 & 1 -1 & -3 & 1 & 0 para expandir o determinante. A matriz det(A) = a11 cdot C11 - a12 cdot C12 + a13 cdot C13 - a14 cdot C14 é:
A fórmula para o determinante usando a regra de Laplace na primeira linha é:
onde são os elementos da matriz e são os cofatores.
Passo 4
Vamos calcular cada termo da expansão:
2 & -2 & -1 0 & 2 & 1 -3 & 1 & 0
Cofator 1 & -2 & -1 0 & 2 & 1 -1 & 1 & 0 é o determinante da matriz que sobra ao remover a primeira linha e a primeira coluna:
1 & 2 & -2 0 & 0 & 2 -1 & -3 & 1
Cofator é o determinante da matriz que sobra ao remover a primeira linha e a segunda coluna:
Mesmo que , calcularemos o cofator para completar a fórmula, mas esse termo será zero.
Cofator é o determinante da matriz que sobra ao remover a primeira linha e a quarta coluna:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada determinante dos cofatores: