Obter uma equação geral, ou paramétrica, do plano, que contenha o ponto A(1,-2,1) e a reta
r: x+12=-1-y3, z=2
Boa Prova !!!

Passo 1

Beleza! O exercício pede pra gente encontrar a equação geral ou paramétrica de um plano que contém o ponto x + 12 = -1 - y3, z = 2 e a reta dada por:
Vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos, pra resolver isso. Precisaremos identificar vetores que estão no plano e, a partir daí, montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta x + 12 = t Rightarrow x = 2t - 1 . Ela está escrita nas formas fracionárias, então vamos parametrizar a reta usando um parâmetro -1 - y3 = t Rightarrow y = -3t -1 :
z = 2
r(t) = (-1, -1, 2) + t(2, -3, 0)
Então, a parametrização da reta fica:
Aqui, o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, sabemos que o plano precisa conter tanto o ponto B(-1, -1, 2) quanto a reta AB = B - A = (-1 - 1, -1 - (-2), 2 - 1) = (-2, 1, 1) . Vamos pegar um ponto da reta, por exemplo, quando :
Agora, formamos o vetor que vai de até :
Então, temos dois vetores no plano: e .

Passo 4

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal n = v times AB = i & j & k 2 & -3 & 0 -2 & 1 & 1 ao plano. Esse vetor é perpendicular a ambos os vetores n = i((-3)(1) - (0)(1)) - j((2)(1) - (0)(-2)) + k((2)(1) - (-3)(-2)) e n = i(-3) - j(2) + k(2 - 6) . Para encontrar n = (-3, -2, -4) , calculamos o produto vetorial desses vetores:
n = (3, 2, 4)
Calculando o determinante:
Podemos simplificar o vetor normal multiplicando por -1:

Passo 5

Com o vetor normal n cdot (r - r0) = 0 e o ponto 3(x - 1) + 2(y + 2) + 4(z - 1) = 0 no plano, podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
3x - 3 + 2y + 4 + 4z - 4 = 0
Onde 3x + 2y + 4z - 3 = 0 e . Substituindo:
Distribuindo os termos:
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é:
3x + 2y + 4z - 3 = 0

Exercícios relacionados

Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
(a)
A=[cccc 1 & 3 & 0 & -2 1 & 2 & -2 & -1 0 & 0 & 2 & 1 -1 & -3 & 1 & 0 ]
Considere as retas
r: 1-x2=2-y2=z+13 s:l x=-1+t y=1+t z=1+2 t
a) Calcule o ângulo entre as retas r e s.
Determine a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico das hipérboles dadas.
(c) 9 x^2-4 y^2-54 x+8 y+113=0
Determine a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico das hipérboles dadas.
(a) 9 x^2-4 y^2-18 x-16 y-43=0