Obter uma equação geral, ou paramétrica, do plano, que contenha o ponto e a reta
Boa Prova !!!
Passo 1
Beleza! O exercício pede pra gente encontrar a equação geral ou paramétrica de um plano que contém o ponto e a reta dada por:
Vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos, pra resolver isso. Precisaremos identificar vetores que estão no plano e, a partir daí, montar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta . Ela está escrita nas formas fracionárias, então vamos parametrizar a reta usando um parâmetro :
Então, a parametrização da reta fica:
Aqui, o vetor diretor da reta é .
Passo 3
Agora, sabemos que o plano precisa conter tanto o ponto quanto a reta . Vamos pegar um ponto da reta, por exemplo, quando :
Agora, formamos o vetor que vai de até :
Então, temos dois vetores no plano: e .
Passo 4
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano. Esse vetor é perpendicular a ambos os vetores e . Para encontrar , calculamos o produto vetorial desses vetores:
Calculando o determinante:
Podemos simplificar o vetor normal multiplicando por -1:
Passo 5
Com o vetor normal n cdot (r - r0) = 0 e o ponto 3(x - 1) + 2(y + 2) + 4(z - 1) = 0 no plano, podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula: