Considere as retas
r: 1-x2=2-y2=z+13 s:l x=-1+t y=1+t z=1+2 t
a) Calcule o ângulo entre as retas r e s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu duas retas no espaço e precisa descobrir o ângulo entre elas. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especialmente vetores e como calcular o ângulo entre dois vetores. Vamos precisar identificar os vetores diretores das retas e utilizar a fórmula do produto escalar para achar o ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores diretores das retas 1 - x2 = 2 - y2 = z + 13 e x = 1 - 2t .
Para a reta y = 2 - 2t :
A equação está na forma simétrica:
z = -1 + 3t
Podemos reescrever isso de forma paramétrica. Vamos chamar o parâmetro de x = -1 + t :
y = 1 + t
z = 1 + 2t
O vetor diretor da reta é, então, .
Para a reta :
As equações paramétricas já estão dadas:
O vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, podemos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo vr cdot vs = |vr| cdot |vs| cdot cos(theta) entre eles:
cos(theta) = vr cdot vs|vr| cdot |vs|
Resolvendo para vr cdot vs = (-2)(1) + (-2)(1) + (3)(2) = -2 -2 +6 = 2 :
|vr| = raiz(-2)^2 + (-2)^2 + 3^2 = raiz4 + 4 + 9 = raiz17
Vamos calcular cada parte:
Produto escalar:
|vs| = raiz1^2 + 1^2 + 2^2 = raiz1 +1 +4 = raiz6
Módulo de cos(theta) = 2raiz17 cdot raiz6 = 2raiz102 :
theta = cos^-1(2raiz102) approx cos^-1(0,197) approx 78^circ
Módulo de :
Agora, substituindo na fórmula:
Calculando :

Resposta

O ângulo entre as retas e é aproximadamente .

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