Mostre que:
(a) Se A e B são matrizes inversíveis (do mesmo tipo), então A B também é inversível e: (A B)^-1=B^-1 A^-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se e são matrizes inversíveis (ou seja, elas têm inversas) e são do mesmo tamanho, então o produto também é inversível. Além disso, queremos provar que a inversa de é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de matriz inversa e como ela se comporta quando multiplicamos matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz M cdot M^-1 = M^-1 cdot M = I é inversível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade, que tem 1 na diagonal principal e 0 nas demais posições.

Passo 3

Sabemos que A cdot A^-1 = A^-1 cdot A = I e B cdot B^-1 = B^-1 cdot B = I e são inversíveis, então existem e que satisfazem:

Passo 4

Queremos provar que também é inversível. Para isso, precisamos encontrar uma matriz que, quando multiplicada por , resulte na matriz identidade . Vamos tentar multiplicar por e ver o que acontece.

Passo 5

Vamos calcular:
AB cdot B^-1A^-1
Usando a propriedade associativa da multiplicação de matrizes, podemos reorganizar os parênteses:
A cdot (B cdot B^-1) cdot A^-1

Passo 6

Sabemos que A cdot I cdot A^-1 = A cdot A^-1 , então substituindo:
AB cdot B^-1A^-1 = I
E sabemos que . Portanto:

Passo 7

Além disso, vamos verificar a outra ordem:
B^-1A^-1 cdot AB
Novamente, reorganizando:
B^-1 cdot (A^-1 cdot A) cdot B = B^-1 cdot I cdot B = B^-1 cdot B = I

Resposta

Assim, mostramos que (AB)^-1 = B^-1A^-1 é inversível e que sua inversa é dada por:

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