Mostre que:
(a) Se
e
são matrizes inversíveis (do mesmo tipo), então
também é inversível e:
(a) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se
e
são matrizes inversíveis (ou seja, elas têm inversas) e são do mesmo tamanho, então o produto
também é inversível. Além disso, queremos provar que a inversa de
é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de matriz inversa e como ela se comporta quando multiplicamos matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz
é inversível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade, que tem 1 na diagonal principal e 0 nas demais posições.
Passo 3
Sabemos que
e
são inversíveis, então existem
e
que satisfazem:
Passo 4
Queremos provar que
também é inversível. Para isso, precisamos encontrar uma matriz que, quando multiplicada por
, resulte na matriz identidade
. Vamos tentar multiplicar
por
e ver o que acontece.
Passo 5
Vamos calcular:
Usando a propriedade associativa da multiplicação de matrizes, podemos reorganizar os parênteses:
Passo 6
Sabemos que
, então substituindo:
E sabemos que
. Portanto:
Passo 7
Além disso, vamos verificar a outra ordem:
Novamente, reorganizando:
Resposta
Assim, mostramos que
é inversível e que sua inversa é dada por: