Determine a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico das hipérboles dadas.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboçar o gráfico da hipérbole dada pela equação:
Para isso, vamos utilizar conhecimentos de álgebra, especificamente o método de completar o quadrado, para reescrever a equação na forma padrão da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos agrupar os termos de
e
separadamente:
Passo 3
Agora, vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas para facilitar o processo de completar o quadrado:
Passo 4
Vamos completar o quadrado para os termos de
. Para completar o quadrado de
, adicionamos e subtraímos
dentro do parênteses:
Multiplicando por 9:
Passo 5
Agora, completamos o quadrado para os termos de
. Para completar o quadrado de
, adicionamos e subtraímos
dentro do parênteses:
Multiplicando por -4:
Passo 6
Substituímos as expressões completas na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Passo 7
Isolamos os termos quadráticos:
Passo 8
Dividimos toda a equação por -36 para obter a forma padrão:
Passo 9
Comparando com a forma padrão da hipérbole
, identificamos:
- Centro
-
-
Passo 10
Para encontrar os vértices, deslocamos
unidades a partir do centro na direção do eixo transversal (eixo
):
- Vértices:
e
Passo 11
Os focos são encontrados usando a fórmula
:
Portanto, os focos estão a
unidades do centro:
- Focos:
e
Passo 12
A excentricidade
da hipérbole é dada por:
Passo 13
Para esboçar o gráfico da hipérbole, plotamos:
- O centro em
- Os vértices em
e - Os focos em
e - As assíntotas que passam pelo centro e têm inclinação
Resposta
A forma padrão da equação da hipérbole é:
As características da hipérbole são:
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e - Excentricidade:
O gráfico da hipérbole possui um eixo transversal horizontal, com vértices e focos alinhados ao longo da linha
.