Determine a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico das hipérboles dadas.
(c) 9 x^2-4 y^2-54 x+8 y+113=0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboçar o gráfico da hipérbole dada pela equação:
9x^2 - 4y^2 - 54x + 8y + 113 = 0
Para isso, vamos utilizar conhecimentos de álgebra, especificamente o método de completar o quadrado, para reescrever a equação na forma padrão da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos agrupar os termos de 9x^2 - 54x - 4y^2 + 8y = -113 e separadamente:

Passo 3

Agora, vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas para facilitar o processo de completar o quadrado:
9(x^2 - 6x) - 4(y^2 - 2y) = -113

Passo 4

Vamos completar o quadrado para os termos de x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9 . Para completar o quadrado de 9(x - 3)^2 - 81 , adicionamos e subtraímos dentro do parênteses:
Multiplicando por 9:

Passo 5

Agora, completamos o quadrado para os termos de y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1 . Para completar o quadrado de -4(y - 1)^2 + 4 , adicionamos e subtraímos dentro do parênteses:
Multiplicando por -4:

Passo 6

Substituímos as expressões completas na equação original:
9(x - 3)^2 - 81 - 4(y - 1)^2 + 4 = -113
Simplificando os termos constantes:
9(x - 3)^2 - 4(y - 1)^2 - 77 = -113

Passo 7

Isolamos os termos quadráticos:
9(x - 3)^2 - 4(y - 1)^2 = -113 + 77
9(x - 3)^2 - 4(y - 1)^2 = -36

Passo 8

Dividimos toda a equação por -36 para obter a forma padrão:
(x - 3)^24 - (y - 1)^29 = 1

Passo 9

Comparando com a forma padrão da hipérbole , identificamos:
  • Centro

Passo 10

Para encontrar os vértices, deslocamos unidades a partir do centro na direção do eixo transversal (eixo ):
  • Vértices: e

Passo 11

Os focos são encontrados usando a fórmula c^2 = 4 + 9 = 13 :
c = raiz13
Portanto, os focos estão a unidades do centro:
  • Focos: e

Passo 12

A excentricidade e = ca = raiz132 da hipérbole é dada por:

Passo 13

Para esboçar o gráfico da hipérbole, plotamos:
  • O centro em
  • Os vértices em e
  • Os focos em e
  • As assíntotas que passam pelo centro e têm inclinação

Resposta

A forma padrão da equação da hipérbole é:
(x - 3)^24 - (y - 1)^29 = 1
As características da hipérbole são:
  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e
  • Excentricidade:
O gráfico da hipérbole possui um eixo transversal horizontal, com vértices e focos alinhados ao longo da linha .

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Determine a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico das hipérboles dadas.
(a) 9 x^2-4 y^2-18 x-16 y-43=0
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