Determine a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboce o gráfico das hipérboles dadas.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a forma padrão da equação, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e esboçar o gráfico da hipérbole dada pela equação:
Para isso, vamos utilizar conhecimentos de álgebra, especificamente o método de completar o quadrado, para reescrever a equação na forma padrão da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos agrupar os termos de e separadamente:
Passo 3
Agora, vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas para facilitar o processo de completar o quadrado:
Passo 4
Vamos completar o quadrado para os termos de . Para completar o quadrado de , adicionamos e subtraímos dentro do parênteses:
Multiplicando por 9:
Passo 5
Agora, completamos o quadrado para os termos de . Para completar o quadrado de , adicionamos e subtraímos dentro do parênteses:
Multiplicando por -4:
Passo 6
Substituímos as expressões completas na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Passo 7
Isolamos os termos quadráticos:
Passo 8
Dividimos toda a equação por -36 para obter a forma padrão:
Passo 9
Comparando com a forma padrão da hipérbole , identificamos:
Centro
Passo 10
Para encontrar os vértices, deslocamos unidades a partir do centro na direção do eixo transversal (eixo ):
Vértices: e
Passo 11
Os focos são encontrados usando a fórmula :
Portanto, os focos estão a unidades do centro:
Focos: e
Passo 12
A excentricidade da hipérbole é dada por:
Passo 13
Para esboçar o gráfico da hipérbole, plotamos:
O centro em
Os vértices em e
Os focos em e
As assíntotas que passam pelo centro e têm inclinação
Resposta
A forma padrão da equação da hipérbole é:
As características da hipérbole são:
Centro:
Vértices: e
Focos: e
Excentricidade:
O gráfico da hipérbole possui um eixo transversal horizontal, com vértices e focos alinhados ao longo da linha .