Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para determinar o polinômio característico de um operador linear, encontrar seus autovalores e autovetores, além de dar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. O operador linear dado é , definido por . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores, para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos representar o operador linear como uma matriz. Para isso, escolhemos uma base para o espaço . Uma base comum é . Vamos ver como atua em cada um desses vetores da base.

Passo 3

Aplicando em : Isso significa que na base escolhida, é igual a .

Passo 4

Aplicando em : Mas, na expressão , para , temos , , e . Então: Portanto, .

Passo 5

Aplicando em : Aqui, , , e na expressão . Assim: Portanto, .

Passo 6

Agora, colocamos esses resultados em uma matriz. Cada coluna da matriz representará o resultado de aplicado a um vetor da base, expresso em termos da base . Então, a matriz de é:

Passo 7

Para encontrar o polinômio característico, precisamos calcular o determinante de , onde é a matriz de e é a matriz identidade. Então: Calculando o determinante: Então, o polinômio característico é:

Passo 8

Os autovalores são as raízes do polinômio característico. Portanto:

Passo 9

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Para : Resolvemos : Isso dá: Então, e . Podemos escolher , então o autovetor é: Para : Resolvemos : Isso dá: Então, e e são livres. Podemos escolher e , e , . Assim, os autovetores são:

Passo 10

Agora, vamos determinar as bases e dimensões de cada autoespaço. Para : O autoespaço é gerado pelo vetor . Portanto, a base é e a dimensão é 1. Para : O autoespaço é gerado pelos vetores e . Portanto, a base é e a dimensão é 2.

Resposta

O polinômio característico de é . Os autovalores são e com multiplicidade 2. O autovetor correspondente a é com dimensão 1, e os autovetores correspondentes a são e com dimensão 2. As bases dos autoespaços são e , respectivamente.

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