Nos exercícios , determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. .
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para determinar o polinômio característico de um operador linear, encontrar seus autovalores e autovetores, além de dar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. O operador linear dado é , definido por . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores, para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos representar o operador linear como uma matriz. Para isso, escolhemos uma base para o espaço . Uma base comum é . Vamos ver como atua em cada um desses vetores da base.
Passo 3
Aplicando em :
Isso significa que na base escolhida, é igual a .
Passo 4
Aplicando em :
Mas, na expressão , para , temos , , e . Então:
Portanto, .
Passo 5
Aplicando em :
Aqui, , , e na expressão . Assim:
Portanto, .
Passo 6
Agora, colocamos esses resultados em uma matriz. Cada coluna da matriz representará o resultado de aplicado a um vetor da base, expresso em termos da base .
Então, a matriz de é:
Passo 7
Para encontrar o polinômio característico, precisamos calcular o determinante de , onde é a matriz de e é a matriz identidade.
Então:
Calculando o determinante:
Então, o polinômio característico é:
Passo 8
Os autovalores são as raízes do polinômio característico. Portanto:
Passo 9
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso dá:
Então, e . Podemos escolher , então o autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Isso dá:
Então, e e são livres. Podemos escolher e , e , . Assim, os autovetores são:
Passo 10
Agora, vamos determinar as bases e dimensões de cada autoespaço.
Para :
O autoespaço é gerado pelo vetor . Portanto, a base é e a dimensão é 1.
Para :
O autoespaço é gerado pelos vetores e . Portanto, a base é e a dimensão é 2.
Resposta
O polinômio característico de é . Os autovalores são e com multiplicidade 2. O autovetor correspondente a é com dimensão 1, e os autovetores correspondentes a são e com dimensão 2. As bases dos autoespaços são e , respectivamente.