Nos exercícios 01 1 4, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. T: P2(x) P2(x), T(a x^2+b x+c)=a x^2+c x+b.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para determinar o polinômio característico de um operador linear, encontrar seus autovalores e autovetores, além de dar uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente. O operador linear dado é , definido por . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores, para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos representar o operador linear como uma matriz. Para isso, escolhemos uma base para o espaço . Uma base comum é . Vamos ver como atua em cada um desses vetores da base.

Passo 3

Aplicando T(x^2) = x^2 em :
Isso significa que na base escolhida, é igual a .

Passo 4

Aplicando T(x) = c x + b em T(x) = 0 cdot x^2 + 0 cdot x + 1 cdot x = x :
Mas, na expressão , para , temos , , e . Então:
Portanto, .

Passo 5

Aplicando T(1) = b em T(1) = 0 cdot x^2 + 1 cdot x + 0 = x :
Aqui, , , e na expressão . Assim:
Portanto, .

Passo 6

Agora, colocamos esses resultados em uma matriz. Cada coluna da matriz representará o resultado de 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 aplicado a um vetor da base, expresso em termos da base .
Então, a matriz de é:

Passo 7

Para encontrar o polinômio característico, precisamos calcular o determinante de lambda I - A = lambda - 1 & 0 & 0 0 & lambda - 1 & -1 0 & 0 & lambda , onde det(lambda I - A) = (lambda - 1) times det lambda - 1 & -1 0 & lambda = (lambda - 1)(lambda (lambda - 1) - 0) = (lambda - 1)^2 lambda é a matriz de p(lambda) = lambda (lambda - 1)^2 e é a matriz identidade.
Então:
Calculando o determinante:
Então, o polinômio característico é:

Passo 8

Os autovalores são as raízes do polinômio característico. Portanto:
lambda1 = 0 com mu

Passo 9

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.

Para -1 & 0 & 0 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos - v1 = 0 - v2 - v3 = 0 :
[
v = 0 -1 1
0 & 0 & 0 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0

0 = 0 - v3 = 0 v3 = 0
]
Isso dá:
v1 = 1 0 0 , v2 = 0 1 0
Então, e . Podemos escolher , então o autovetor é:

Para :
Resolvemos :
[


]
Isso dá:
Então, e e são livres. Podemos escolher e , e , . Assim, os autovetores são:

Passo 10

Agora, vamos determinar as bases e dimensões de cada autoespaço.
Para 0 -1 1 :
O autoespaço é gerado pelo vetor 0 -1 1 . Portanto, a base é 1 0 0 e a dimensão é 1.
Para 0 1 0 :
O autoespaço é gerado pelos vetores 1 0 0 e 0 1 0 . Portanto, a base é e a dimensão é 2.

Resposta

O polinômio característico de 0 -1 1 é 1 0 0 . Os autovalores são 0 1 0 e 0 -1 1 com multiplicidade 2. O autovetor correspondente a 1 0 0 é 0 1 0 com dimensão 1, e os autovetores correspondentes a são e com dimensão 2. As bases dos autoespaços são e , respectivamente.

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