Beleza, galera! O que a gente tem aqui é um exercício para calcular o determinante de quatro matrizes diferentes: A, B, C e D. A matéria envolvida é Álgebra Linear, especificamente o conceito de determinantes. Vamos precisar lembrar como calcular determinantes de matrizes 2x2, 3x3 e 4x4, usando fórmulas básicas e algumas propriedades que facilitam o cálculo quando as matrizes têm estruturas especiais, como serem triangulares.
Passo 2
Vamos começar com a matriz A, que é uma matriz 2x2:
Para uma matriz 2x2, o determinante é fácil de calcular usando a fórmula:
Onde , , e .
Então:
Passo 3
Agora vamos para a matriz B, que é uma matriz 3x3:
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus porque é mais direta.
A regra de Sarrus diz para replicar as duas primeiras colunas da matriz à direita e somar os produtos das diagonais descendentes e subtrair os produtos das diagonais ascendentes.
Então:
Passo 4
Vamos para a matriz C, que é uma matriz 4x4 triangular superior:
Uma propriedade útil é que o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é o produto dos elementos da diagonal principal.
Então:
Passo 5
Por último, vamos calcular o determinante da matriz D, que é uma matriz 4x4:
Observando a matriz D, vemos que a última coluna tem vários zeros, o que facilita a expansão por cofatores. Vamos expandir o determinante pela última coluna.
A fórmula para a expansão por cofatores ao longo da última coluna é:
Onde são os cofatores correspondentes.
Observando a matriz:
Portanto, somente o primeiro termo é não nulo:
Para calcular o cofator , removemos a primeira linha e a quarta coluna:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz 3x3: