Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
rlrl A & =(cc 2 & -1 -4 & -3 ) & C=(cccc -1 & 4 & 0 & 1 0 & 23 & 6 & 3 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 8 ) B & =(ccc 3 & -1 & 1 -1 & -3 & -1 -2 & -6 & -2 ) & D & =(cccc -17 & 54 & 2 & 1 -5 & 23 & 0 & 0 9 & 19 & -1 & 0 2 & 0 & 0 & 0 )

Passo 1

Beleza, galera! O que a gente tem aqui é um exercício para calcular o determinante de quatro matrizes diferentes: A, B, C e D. A matéria envolvida é Álgebra Linear, especificamente o conceito de determinantes. Vamos precisar lembrar como calcular determinantes de matrizes 2x2, 3x3 e 4x4, usando fórmulas básicas e algumas propriedades que facilitam o cálculo quando as matrizes têm estruturas especiais, como serem triangulares.

Passo 2

Vamos começar com a matriz A, que é uma matriz 2x2:
A =(cc 2 & -1 -4 & -3 )
Para uma matriz 2x2, o determinante é fácil de calcular usando a fórmula:
det(A) = ad - bc
Onde det(A) = (2)(-3) - (-1)(-4) = -6 - 4 = -10 , , e .
Então:

Passo 3

Agora vamos para a matriz B, que é uma matriz 3x3:
B =(ccc 3 & -1 & 1 -1 & -3 & -1 -2 & -6 & -2 )
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a regra de Sarrus porque é mais direta.
A regra de Sarrus diz para replicar as duas primeiras colunas da matriz à direita e somar os produtos das diagonais descendentes e subtrair os produtos das diagonais ascendentes.
Então:
det(B) &= 3 cdot (-3) cdot (-2) + (-1) cdot (-1) cdot (-2) + 1 cdot (-1) cdot (-6) & - [(-2) cdot (-3) cdot 1 + (-1) cdot (-1) cdot 3 + (-1) cdot (-6) cdot (-2)] &= 3 cdot (-3) cdot (-2) = 18 &+ (-1) cdot (-1) cdot (-2) = -2 &+ 1 cdot (-1) cdot (-6) = 6 &- [(-2) cdot (-3) cdot 1 = 6 &+ (-1) cdot (-1) cdot 3 = 3 &+ (-1) cdot (-6) cdot (-2) = -12] &= 18 - 2 + 6 - (6 + 3 - 12) &= 22 - (-3) &= 22 + 3 &= 25

Passo 4

Vamos para a matriz C, que é uma matriz 4x4 triangular superior:
C=(cccc -1 & 4 & 0 & 1 0 & 23 & 6 & 3 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 8 )
Uma propriedade útil é que o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é o produto dos elementos da diagonal principal.
Então:
det(C) = (-1) cdot 23 cdot (-1) cdot 8 = (-1 times 23) times (-1 times 8) = 23 times 8 = 184

Passo 5

Por último, vamos calcular o determinante da matriz D, que é uma matriz 4x4:
D =(cccc -17 & 54 & 2 & 1 -5 & 23 & 0 & 0 9 & 19 & -1 & 0 2 & 0 & 0 & 0 )
Observando a matriz D, vemos que a última coluna tem vários zeros, o que facilita a expansão por cofatores. Vamos expandir o determinante pela última coluna.
A fórmula para a expansão por cofatores ao longo da última coluna é:
det(D) = a1,4C1,4 + a2,4C2,4 + a3,4C3,4 + a4,4C4,4
Onde det(D) = 1 cdot C1,4 são os cofatores correspondentes.
Observando a matriz:
  • ccc -5 & 23 & 0 9 & 19 & -1 2 & 0 & 0
  • det &= (-5) cdot 19 cdot 0 + 23 cdot (-1) cdot 2 + 0 cdot 9 cdot 0 & - [0 cdot 19 cdot 2 + (-1) cdot 9 cdot (-5) + 0 cdot (-5) cdot 23] &= 0 + (-46) + 0 - [0 + 45 + 0] &= -46 - 45 &= -91
  • C1,4 = -1 times (-91) = 91
  • det(D) = 1 times 91 = 91
Portanto, somente o primeiro termo é não nulo:
Para calcular o cofator , removemos a primeira linha e a quarta coluna:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz 3x3:
Usando a regra de Sarrus:
O cofator leva em conta o sinal, que para é .
Então:
Portanto:

Resposta

Os determinantes das matrizes são:

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