Sejam os pontos e vértices de um tetraedro. Determine o volume deste tetraedro.
Passo 1
Beleza, então temos um exercício de geometria analítica onde a gente precisa encontrar o volume de um tetraedro cujos vértices são os pontos , , e . Para resolver isso, vamos usar vetores e produtos vetoriais, além de entender como calcular o volume usando determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um dos pontos como referência. Vou escolher o ponto para facilitar. Agora, precisamos encontrar os vetores que vão de para os outros pontos , e .
Para encontrar um vetor entre dois pontos, subtraímos as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do ponto final. Então:
Passo 3
Agora que temos os três vetores , e , vamos usar eles para encontrar o volume do tetraedro. A fórmula para o volume de um tetraedro formado por esses vetores é:
Aqui, é o produto vetorial entre e , e esse resultado é o produto escalar.
Passo 4
Vamos primeiro calcular o produto vetorial u times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 ) . O produto vetorial de dois vetores AC times AD = ( (-3)(-2) - (2)(-1), (2)(5) - (1)(-2), (1)(-1) - (-3)(5) ) = (6 + 2, 10 + 2, -1 + 15) = (8, 12, 14) e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 . O produto escalar de dois vetores AB cdot (AC times AD) = (4)(8) + (-2)(12) + (2)(14) = 32 - 24 + 28 = 36 e é: