Sejam os pontos A(1,2,-1), B(5,0,1), C(2,-1,1) e D(6,1,-3) vértices de um tetraedro. Determine o volume deste tetraedro.

Passo 1

Beleza, então temos um exercício de geometria analítica onde a gente precisa encontrar o volume de um tetraedro cujos vértices são os pontos , , e . Para resolver isso, vamos usar vetores e produtos vetoriais, além de entender como calcular o volume usando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um dos pontos como referência. Vou escolher o ponto AB = B - A = (5-1, 0-2, 1-(-1)) = (4, -2, 2) para facilitar. Agora, precisamos encontrar os vetores que vão de AC = C - A = (2-1, -1-2, 1-(-1)) = (1, -3, 2) para os outros pontos AD = D - A = (6-1, 1-2, -3-(-1)) = (5, -1, -2) , e .
Para encontrar um vetor entre dois pontos, subtraímos as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do ponto final. Então:

Passo 3

Agora que temos os três vetores V = 16 | AB cdot (AC times AD) | , e , vamos usar eles para encontrar o volume do tetraedro. A fórmula para o volume de um tetraedro formado por esses vetores é:
Aqui, é o produto vetorial entre e , e esse resultado é o produto escalar.

Passo 4

Vamos primeiro calcular o produto vetorial u times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 ) . O produto vetorial de dois vetores AC times AD = ( (-3)(-2) - (2)(-1), (2)(5) - (1)(-2), (1)(-1) - (-3)(5) ) = (6 + 2, 10 + 2, -1 + 15) = (8, 12, 14) e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 . O produto escalar de dois vetores AB cdot (AC times AD) = (4)(8) + (-2)(12) + (2)(14) = 32 - 24 + 28 = 36 e é:
Aplicando aos nossos vetores:

Passo 6

Finalmente, vamos aplicar a fórmula do volume:
V = 16 | 36 | = 366 = 6

Resposta

O volume do tetraedro é unidades cúbicas.

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