Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan: (d) [rrrr2 & 0 & 0 & -1 2 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & 3]

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a matriz inversa usando o método de eliminação de Gauss-Jordan. A matriz dada é:
2 & 0 & 0 & -1 2 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & 3
Para encontrar a inversa, precisamos usar o método de eliminação de Gauss-Jordan, que envolve operações nas linhas da matriz para transformá-la na matriz identidade, enquanto aplicamos as mesmas operações a uma matriz identidade paralela. No final, a matriz transformada será a inversa da matriz original.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada, que é a matriz original ao lado da matriz identidade:
[cccc|cccc 2 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
Nosso objetivo é transformar a parte à esquerda da linha vertical na matriz identidade usando operações de linha, e a parte à direita se tornará a inversa.

Passo 3

Começamos com a primeira coluna. Queremos que o primeiro elemento seja 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 2:
R1 = R12
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & -0.5 & 0.5 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora, queremos zerar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
    R2 = R2 - 2R1
  • Adicionamos a primeira linha à terceira linha:
    R3 = R3 + R1
A quarta linha já tem 0 na primeira coluna, então não precisamos modificar.
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & -0.5 & 0.5 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0.5 & 0.5 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna. O elemento já é 1 na segunda linha, então vamos zerar os elementos acima e abaixo dele. Porém, na nossa matriz, os outros elementos na segunda coluna já são zero, então nada precisa ser feito nessa etapa.

Passo 6

Passamos para a terceira coluna. Queremos que o elemento na terceira linha terceira coluna seja 1, o que já está correto. Agora, vamos zerar os outros elementos na terceira coluna:
  • Subtraímos 2 vezes a terceira linha da quarta linha:
    R4 = R4 - 2R3
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & -0.5 & 0.5 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0.5 & 0.5 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & -1 & 0 & -2 & 1 ]

Passo 7

Agora, vamos focar na quarta coluna. Queremos que o elemento na quarta linha quarta coluna seja 1. Dividimos a quarta linha por 2:
R4 = R42
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & -0.5 & 0.5 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0.5 & 0.5 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -0.5 & 0 & -1 & 0.5 ]

Passo 8

Vamos zerar os elementos acima do 1 na quarta coluna:
  • Adicionamos 0.5 vezes a quarta linha à primeira linha:
    R1 = R1 + 0.5R4
  • Subtraímos a quarta linha da segunda linha:
    R2 = R2 - R4
  • Subtraímos 0.5 vezes a quarta linha da terceira linha:
    R3 = R3 - 0.5R4
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 0.25 & 0 & -0.5 & 0.25 0 & 1 & 0 & 0 & -0.5 & 1 & 1 & -0.5 0 & 0 & 1 & 0 & 0.75 & 0 & 1.5 & -0.25 0 & 0 & 0 & 1 & -0.5 & 0 & -1 & 0.5 ]

Passo 9

Agora, nossa matriz à esquerda é a identidade. A matriz à direita é a inversa da matriz original. Portanto, a inversa da matriz dada é:
0.25 & 0 & -0.5 & 0.25 -0.5 & 1 & 1 & -0.5 0.75 & 0 & 1.5 & -0.25 -0.5 & 0 & -1 & 0.5

Resposta

A matriz inversa é:
0.25 & 0 & -0.5 & 0.25 -0.5 & 1 & 1 & -0.5 0.75 & 0 & 1.5 & -0.25 -0.5 & 0 & -1 & 0.5

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