Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan: (d)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a matriz inversa usando o método de eliminação de Gauss-Jordan. A matriz dada é:
Para encontrar a inversa, precisamos usar o método de eliminação de Gauss-Jordan, que envolve operações nas linhas da matriz para transformá-la na matriz identidade, enquanto aplicamos as mesmas operações a uma matriz identidade paralela. No final, a matriz transformada será a inversa da matriz original.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada, que é a matriz original ao lado da matriz identidade:
Nosso objetivo é transformar a parte à esquerda da linha vertical na matriz identidade usando operações de linha, e a parte à direita se tornará a inversa.
Passo 3
Começamos com a primeira coluna. Queremos que o primeiro elemento seja 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 2:
Passo 4
Agora, queremos zerar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso:
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Adicionamos a primeira linha à terceira linha:
A quarta linha já tem 0 na primeira coluna, então não precisamos modificar.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda coluna. O elemento já é 1 na segunda linha, então vamos zerar os elementos acima e abaixo dele. Porém, na nossa matriz, os outros elementos na segunda coluna já são zero, então nada precisa ser feito nessa etapa.
Passo 6
Passamos para a terceira coluna. Queremos que o elemento na terceira linha terceira coluna seja 1, o que já está correto. Agora, vamos zerar os outros elementos na terceira coluna:
Subtraímos 2 vezes a terceira linha da quarta linha:
Passo 7
Agora, vamos focar na quarta coluna. Queremos que o elemento na quarta linha quarta coluna seja 1. Dividimos a quarta linha por 2:
Passo 8
Vamos zerar os elementos acima do 1 na quarta coluna:
Adicionamos 0.5 vezes a quarta linha à primeira linha:
Subtraímos a quarta linha da segunda linha:
Subtraímos 0.5 vezes a quarta linha da terceira linha:
Passo 9
Agora, nossa matriz à esquerda é a identidade. A matriz à direita é a inversa da matriz original. Portanto, a inversa da matriz dada é: